Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68595 / 68621
↖ ↑ ↗
← S  8.442488°
E  8.401795°		 ← 302.05 m → S  8.442488°
E  8.404541°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.445205°
E  8.401795°		 ← 302.05 m →
91 254 m²		 S  8.445205°
E  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523342132568359 y=0.523540496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523342132568359 × 217)
    floor (0.523342132568359 × 131072)
    floor (68595.5)     		tx = 68595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523540496826172 × 217)
    floor (0.523540496826172 × 131072)
    floor (68621.5)     		ty = 68621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68595 / 68621 ti = "17/68595/68621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68595/68621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68595 ÷ 217
    68595 ÷ 131072     		x = 0.523338317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68621 ÷ 217
    68621 ÷ 131072     		y = 0.523536682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523338317871094 × 2 - 1) × π
    0.0466766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14663898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523536682128906 × 2 - 1) × π
    -0.0470733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.147885335327873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14663898} λ = 0.14663898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147885335327873))-π/2
    2×atan(0.862530010992905)-π/2
    2×0.71172355333089-π/2
    1.42344710666178-1.57079632675     		φ = -0.14734922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14663898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.401795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14734922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.442488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68595 KachelY 68621 0.14663898 -0.14734922 8.401795 -8.442488
    Oben rechts KachelX + 1 68596 KachelY 68621 0.14668691 -0.14734922 8.404541 -8.442488
    Unten links KachelX 68595 KachelY + 1 68622 0.14663898 -0.14739664 8.401795 -8.445205
    Unten rechts KachelX + 1 68596 KachelY + 1 68622 0.14668691 -0.14739664 8.404541 -8.445205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14734922--0.14739664) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14734922--0.14739664) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14663898-0.14668691) × cos(-0.14734922) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98916373122043 × 6371000     		do = 302.053044967855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14663898-0.14668691) × cos(-0.14739664) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989156768065309 × 6371000     		du = 302.050918684672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14734922)-sin(-0.14739664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98916373122043-0.989156768065309)×R²
    abs(0.14668691-0.14663898)×6.96315512072054e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.96315512072054e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.96315512072054e-06×40589641000000     		ar = 91253.7760332266m²