Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68595 / 68619
↖ ↑ ↗
← S  8.437054°
E  8.401795°		 ← 302.06 m → S  8.437054°
E  8.404541°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.439771°
E  8.401795°		 ← 302.06 m →
91 255 m²		 S  8.439771°
E  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523342132568359 y=0.523525238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523342132568359 × 217)
    floor (0.523342132568359 × 131072)
    floor (68595.5)     		tx = 68595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523525238037109 × 217)
    floor (0.523525238037109 × 131072)
    floor (68619.5)     		ty = 68619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68595 / 68619 ti = "17/68595/68619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68595/68619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68595 ÷ 217
    68595 ÷ 131072     		x = 0.523338317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68619 ÷ 217
    68619 ÷ 131072     		y = 0.523521423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523338317871094 × 2 - 1) × π
    0.0466766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14663898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523521423339844 × 2 - 1) × π
    -0.0470428466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147789461528633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14663898} λ = 0.14663898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147789461528633))-π/2
    2×atan(0.86261270898624)-π/2
    2×0.711770971107032-π/2
    1.42354194221406-1.57079632675     		φ = -0.14725438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14663898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.401795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14725438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.437054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68595 KachelY 68619 0.14663898 -0.14725438 8.401795 -8.437054
    Oben rechts KachelX + 1 68596 KachelY 68619 0.14668691 -0.14725438 8.404541 -8.437054
    Unten links KachelX 68595 KachelY + 1 68620 0.14663898 -0.14730180 8.401795 -8.439771
    Unten rechts KachelX + 1 68596 KachelY + 1 68620 0.14668691 -0.14730180 8.404541 -8.439771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14725438--0.14730180) × R
    4.74200000000202e-05 × 6371000     		dl = 302.112820000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14725438--0.14730180) × R
    4.74200000000202e-05 × 6371000     		dr = 302.112820000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14663898-0.14668691) × cos(-0.14725438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989177650857787 × 6371000     		do = 302.057295496575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14663898-0.14668691) × cos(-0.14730180) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989170692151261 × 6371000     		du = 302.055170571824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14725438)-sin(-0.14730180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989177650857787-0.989170692151261)×R²
    abs(0.14668691-0.14663898)×6.95870652633879e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.95870652633879e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.95870652633879e-06×40589641000000     		ar = 91255.06037767m²