Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68595 / 68487
↖ ↑ ↗
← S  8.078265°
E  8.401795°		 ← 302.33 m → S  8.078265°
E  8.404541°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.080985°
E  8.401795°		 ← 302.33 m →
91 415 m²		 S  8.080985°
E  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523342132568359 y=0.522518157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523342132568359 × 217)
    floor (0.523342132568359 × 131072)
    floor (68595.5)     		tx = 68595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522518157958984 × 217)
    floor (0.522518157958984 × 131072)
    floor (68487.5)     		ty = 68487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68595 / 68487 ti = "17/68595/68487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68595/68487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68595 ÷ 217
    68595 ÷ 131072     		x = 0.523338317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68487 ÷ 217
    68487 ÷ 131072     		y = 0.522514343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523338317871094 × 2 - 1) × π
    0.0466766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14663898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522514343261719 × 2 - 1) × π
    -0.0450286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.141461790778786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14663898} λ = 0.14663898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141461790778786))-π/2
    2×atan(0.868088343930786)-π/2
    2×0.714901999119227-π/2
    1.42980399823845-1.57079632675     		φ = -0.14099233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14663898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.401795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14099233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.078265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68595 KachelY 68487 0.14663898 -0.14099233 8.401795 -8.078265
    Oben rechts KachelX + 1 68596 KachelY 68487 0.14668691 -0.14099233 8.404541 -8.078265
    Unten links KachelX 68595 KachelY + 1 68488 0.14663898 -0.14103979 8.401795 -8.080985
    Unten rechts KachelX + 1 68596 KachelY + 1 68488 0.14668691 -0.14103979 8.404541 -8.080985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14099233--0.14103979) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14099233--0.14103979) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14663898-0.14668691) × cos(-0.14099233) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99007703587428 × 6371000     		do = 302.331933530963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14663898-0.14668691) × cos(-0.14103979) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990070365411085 × 6371000     		du = 302.329896624781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14099233)-sin(-0.14103979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99007703587428-0.990070365411085)×R²
    abs(0.14668691-0.14663898)×6.67046319491327e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.67046319491327e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.67046319491327e-06×40589641000000     		ar = 91415.0913549238m²