Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68592 / 69556
↖ ↑ ↗
← S 10.973550°
E  8.393555°		 ← 299.78 m → S 10.973550°
E  8.396301°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
S 10.976246°
E  8.393555°		 ← 299.78 m →
89 879 m²		 S 10.976246°
E  8.396301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523319244384766 y=0.530673980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523319244384766 × 217)
    floor (0.523319244384766 × 131072)
    floor (68592.5)     		tx = 68592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530673980712891 × 217)
    floor (0.530673980712891 × 131072)
    floor (69556.5)     		ty = 69556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68592 / 69556 ti = "17/68592/69556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68592/69556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68592 ÷ 217
    68592 ÷ 131072     		x = 0.5233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69556 ÷ 217
    69556 ÷ 131072     		y = 0.530670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5233154296875 × 2 - 1) × π
    0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.06134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.192706336472626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14649517} λ = 0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192706336472626))-π/2
    2×atan(0.824724129978319)-π/2
    2×0.689635875223458-π/2
    1.37927175044692-1.57079632675     		φ = -0.19152458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19152458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.973550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68592 KachelY 69556 0.14649517 -0.19152458 8.393555 -10.973550
    Oben rechts KachelX + 1 68593 KachelY 69556 0.14654310 -0.19152458 8.396301 -10.973550
    Unten links KachelX 68592 KachelY + 1 69557 0.14649517 -0.19157164 8.393555 -10.976246
    Unten rechts KachelX + 1 68593 KachelY + 1 69557 0.14654310 -0.19157164 8.396301 -10.976246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19152458--0.19157164) × R
    4.70599999999877e-05 × 6371000     		dl = 299.819259999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19152458--0.19157164) × R
    4.70599999999877e-05 × 6371000     		dr = 299.819259999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14649517-0.14654310) × cos(-0.19152458) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981715163477017 × 6371000     		do = 299.778535201134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14649517-0.14654310) × cos(-0.19157164) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981706204245107 × 6371000     		du = 299.77579939189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19152458)-sin(-0.19157164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981715163477017-0.981706204245107)×R²
    abs(0.14654310-0.14649517)×8.95923191002179e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.95923191002179e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.95923191002179e-06×40589641000000     		ar = 89878.9684803136m²