Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68591 / 69553
↖ ↑ ↗
← S 10.965461°
E  8.390808°		 ← 299.85 m → S 10.965461°
E  8.393555°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
S 10.968157°
E  8.390808°		 ← 299.85 m →
89 900 m²		 S 10.968157°
E  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523311614990234 y=0.530651092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523311614990234 × 217)
    floor (0.523311614990234 × 131072)
    floor (68591.5)     		tx = 68591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530651092529297 × 217)
    floor (0.530651092529297 × 131072)
    floor (69553.5)     		ty = 69553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68591 / 69553 ti = "17/68591/69553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68591/69553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68591 ÷ 217
    68591 ÷ 131072     		x = 0.523307800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69553 ÷ 217
    69553 ÷ 131072     		y = 0.530647277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523307800292969 × 2 - 1) × π
    0.0466156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14644723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530647277832031 × 2 - 1) × π
    -0.0612945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192562525773766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14644723} λ = 0.14644723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192562525773766))-π/2
    2×atan(0.8248427426605)-π/2
    2×0.689706466761368-π/2
    1.37941293352274-1.57079632675     		φ = -0.19138339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14644723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.390808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19138339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.965461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68591 KachelY 69553 0.14644723 -0.19138339 8.390808 -10.965461
    Oben rechts KachelX + 1 68592 KachelY 69553 0.14649517 -0.19138339 8.393555 -10.965461
    Unten links KachelX 68591 KachelY + 1 69554 0.14644723 -0.19143045 8.390808 -10.968157
    Unten rechts KachelX + 1 68592 KachelY + 1 69554 0.14649517 -0.19143045 8.393555 -10.968157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19138339--0.19143045) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dl = 299.819260000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19138339--0.19143045) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dr = 299.819260000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14644723-0.14649517) × cos(-0.19138339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981742030029945 × 6371000     		do = 299.849286010975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14644723-0.14649517) × cos(-0.19143045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981733077321004 × 6371000     		du = 299.846551623222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19138339)-sin(-0.19143045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981742030029945-0.981733077321004)×R²
    abs(0.14649517-0.14644723)×8.95270894085698e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.95270894085698e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.95270894085698e-06×40589641000000     		ar = 89900.1811488941m²