Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68590 / 43534
↖ ↑ ↗
← N 51.594136°
E  8.388061°		 ← 189.74 m → N 51.594136°
E  8.390808°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 51.592429°
E  8.388061°		 ← 189.75 m →
36 000 m²		 N 51.592429°
E  8.390808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523303985595703 y=0.332141876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523303985595703 × 217)
    floor (0.523303985595703 × 131072)
    floor (68590.5)     		tx = 68590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332141876220703 × 217)
    floor (0.332141876220703 × 131072)
    floor (43534.5)     		ty = 43534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68590 / 43534 ti = "17/68590/43534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68590/43534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68590 ÷ 217
    68590 ÷ 131072     		x = 0.523300170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43534 ÷ 217
    43534 ÷ 131072     		y = 0.332138061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523300170898438 × 2 - 1) × π
    0.046600341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14639929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332138061523438 × 2 - 1) × π
    0.335723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05470766544048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14639929} λ = 0.14639929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05470766544048))-π/2
    2×atan(2.87113569901658)-π/2
    2×1.23564193105362-π/2
    2.47128386210723-1.57079632675     		φ = 0.90048754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14639929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.388061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90048754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.594136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68590 KachelY 43534 0.14639929 0.90048754 8.388061 51.594136
    Oben rechts KachelX + 1 68591 KachelY 43534 0.14644723 0.90048754 8.390808 51.594136
    Unten links KachelX 68590 KachelY + 1 43535 0.14639929 0.90045776 8.388061 51.592429
    Unten rechts KachelX + 1 68591 KachelY + 1 43535 0.14644723 0.90045776 8.390808 51.592429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90048754-0.90045776) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90048754-0.90045776) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14639929-0.14644723) × cos(0.90048754) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621227991207407 × 6371000     		do = 189.739018923331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14639929-0.14644723) × cos(0.90045776) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62125132742965 × 6371000     		du = 189.746146406278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90048754)-sin(0.90045776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621227991207407-0.62125132742965)×R²
    abs(0.14644723-0.14639929)×2.33362222434863e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33362222434863e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33362222434863e-05×40589641000000     		ar = 35999.5528286737m²