Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6859 / 2206
↖ ↑ ↗
← N 78.499317°
W 29.289551°		 ← 487.14 m → N 78.499317°
W 29.267578°		 →
↑
487.25 m
↓
↑
487.25 m
↓
N 78.494935°
W 29.289551°		 ← 487.32 m →
237 406 m²		 N 78.494935°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418670654296875 y=0.134674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418670654296875 × 214)
    floor (0.418670654296875 × 16384)
    floor (6859.5)     		tx = 6859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134674072265625 × 214)
    floor (0.134674072265625 × 16384)
    floor (2206.5)     		ty = 2206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6859 / 2206 ti = "14/6859/2206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6859/2206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6859 ÷ 214
    6859 ÷ 16384     		x = 0.41864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2206 ÷ 214
    2206 ÷ 16384     		y = 0.1346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1346435546875 × 2 - 1) × π
    0.730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29560224900525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51119910} λ = -0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29560224900525))-π/2
    2×atan(9.93041479417842)-π/2
    2×1.470433932359-π/2
    2.940867864718-1.57079632675     		φ = 1.37007154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37007154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.499317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6859 KachelY 2206 -0.51119910 1.37007154 -29.289551 78.499317
    Oben rechts KachelX + 1 6860 KachelY 2206 -0.51081560 1.37007154 -29.267578 78.499317
    Unten links KachelX 6859 KachelY + 1 2207 -0.51119910 1.36999506 -29.289551 78.494935
    Unten rechts KachelX + 1 6860 KachelY + 1 2207 -0.51081560 1.36999506 -29.267578 78.494935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37007154-1.36999506) × R
    7.64800000001564e-05 × 6371000     		dl = 487.254080000997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37007154-1.36999506) × R
    7.64800000001564e-05 × 6371000     		dr = 487.254080000997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51119910--0.51081560) × cos(1.37007154) × R
    0.000383499999999981 × 0.199379617864531 × 6371000     		do = 487.139933666601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51119910--0.51081560) × cos(1.36999506) × R
    0.000383499999999981 × 0.199454561740963 × 6371000     		du = 487.323042428593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37007154)-sin(1.36999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199379617864531-0.199454561740963)×R²
    abs(-0.51081560--0.51119910)×7.49438764314769e-05×R²
    0.000383499999999981×7.49438764314769e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.49438764314769e-05×40589641000000     		ar = 237405.530571846m²