Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68587 / 43228
↖ ↑ ↗
← N 52.113252°
E  8.379822°		 ← 187.56 m → N 52.113252°
E  8.382568°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
N 52.111566°
E  8.379822°		 ← 187.57 m →
35 180 m²		 N 52.111566°
E  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523281097412109 y=0.329807281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523281097412109 × 217)
    floor (0.523281097412109 × 131072)
    floor (68587.5)     		tx = 68587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329807281494141 × 217)
    floor (0.329807281494141 × 131072)
    floor (43228.5)     		ty = 43228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68587 / 43228 ti = "17/68587/43228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68587/43228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68587 ÷ 217
    68587 ÷ 131072     		x = 0.523277282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43228 ÷ 217
    43228 ÷ 131072     		y = 0.329803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523277282714844 × 2 - 1) × π
    0.0465545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14625548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329803466796875 × 2 - 1) × π
    0.34039306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06937635672421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14625548} λ = 0.14625548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06937635672421))-π/2
    2×atan(2.91356190997827)-π/2
    2×1.24017208284226-π/2
    2.48034416568453-1.57079632675     		φ = 0.90954784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14625548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.379822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90954784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.113252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68587 KachelY 43228 0.14625548 0.90954784 8.379822 52.113252
    Oben rechts KachelX + 1 68588 KachelY 43228 0.14630342 0.90954784 8.382568 52.113252
    Unten links KachelX 68587 KachelY + 1 43229 0.14625548 0.90951840 8.379822 52.111566
    Unten rechts KachelX + 1 68588 KachelY + 1 43229 0.14630342 0.90951840 8.382568 52.111566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90954784-0.90951840) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dl = 187.562240000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90954784-0.90951840) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dr = 187.562240000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14625548-0.14630342) × cos(0.90954784) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.614102668747837 × 6371000     		do = 187.562762038269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14625548-0.14630342) × cos(0.90951840) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.614125903299497 × 6371000     		du = 187.569858468403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90954784)-sin(0.90951840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614102668747837-0.614125903299497)×R²
    abs(0.14630342-0.14625548)×2.32345516597565e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32345516597565e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32345516597565e-05×40589641000000     		ar = 35180.3573022685m²