Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68585 / 69560
↖ ↑ ↗
← S 10.984335°
E  8.374329°		 ← 299.77 m → S 10.984335°
E  8.377075°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
S 10.987031°
E  8.374329°		 ← 299.76 m →
89 876 m²		 S 10.987031°
E  8.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523265838623047 y=0.530704498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523265838623047 × 217)
    floor (0.523265838623047 × 131072)
    floor (68585.5)     		tx = 68585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530704498291016 × 217)
    floor (0.530704498291016 × 131072)
    floor (69560.5)     		ty = 69560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68585 / 69560 ti = "17/68585/69560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68585/69560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68585 ÷ 217
    68585 ÷ 131072     		x = 0.523262023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69560 ÷ 217
    69560 ÷ 131072     		y = 0.53070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523262023925781 × 2 - 1) × π
    0.0465240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14615961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.192898084071106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14615961} λ = 0.14615961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192898084071106))-π/2
    2×atan(0.824566006267392)-π/2
    2×0.689541756179149-π/2
    1.3790835123583-1.57079632675     		φ = -0.19171281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14615961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.374329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19171281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.984335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68585 KachelY 69560 0.14615961 -0.19171281 8.374329 -10.984335
    Oben rechts KachelX + 1 68586 KachelY 69560 0.14620754 -0.19171281 8.377075 -10.984335
    Unten links KachelX 68585 KachelY + 1 69561 0.14615961 -0.19175987 8.374329 -10.987031
    Unten rechts KachelX + 1 68586 KachelY + 1 69561 0.14620754 -0.19175987 8.377075 -10.987031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19171281--0.19175987) × R
    4.70599999999877e-05 × 6371000     		dl = 299.819259999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19171281--0.19175987) × R
    4.70599999999877e-05 × 6371000     		dr = 299.819259999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14615961-0.14620754) × cos(-0.19171281) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981679315410086 × 6371000     		do = 299.767588562644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14615961-0.14620754) × cos(-0.19175987) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98167034748224 × 6371000     		du = 299.764850097992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19171281)-sin(-0.19175987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981679315410086-0.98167034748224)×R²
    abs(0.14620754-0.14615961)×8.96792784632616e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.96792784632616e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.96792784632616e-06×40589641000000     		ar = 89875.6860691896m²