Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68584 / 68376
↖ ↑ ↗
← S  7.776309°
E  8.371582°		 ← 302.62 m → S  7.776309°
E  8.374329°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.779030°
E  8.371582°		 ← 302.62 m →
91 559 m²		 S  7.779030°
E  8.374329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523258209228516 y=0.521671295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523258209228516 × 217)
    floor (0.523258209228516 × 131072)
    floor (68584.5)     		tx = 68584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521671295166016 × 217)
    floor (0.521671295166016 × 131072)
    floor (68376.5)     		ty = 68376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68584 / 68376 ti = "17/68584/68376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68584/68376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68584 ÷ 217
    68584 ÷ 131072     		x = 0.52325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68376 ÷ 217
    68376 ÷ 131072     		y = 0.52166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52325439453125 × 2 - 1) × π
    0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.136140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14611167} λ = 0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.136140794920959))-π/2
    2×atan(0.872719749330133)-π/2
    2×0.717537069878512-π/2
    1.43507413975702-1.57079632675     		φ = -0.13572219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13572219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.776309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68584 KachelY 68376 0.14611167 -0.13572219 8.371582 -7.776309
    Oben rechts KachelX + 1 68585 KachelY 68376 0.14615961 -0.13572219 8.374329 -7.776309
    Unten links KachelX 68584 KachelY + 1 68377 0.14611167 -0.13576968 8.371582 -7.779030
    Unten rechts KachelX + 1 68585 KachelY + 1 68377 0.14615961 -0.13576968 8.374329 -7.779030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13572219--0.13576968) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13572219--0.13576968) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14611167-0.14615961) × cos(-0.13572219) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990803873029848 × 6371000     		do = 302.617006114984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14611167-0.14615961) × cos(-0.13576968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990797446235622 × 6371000     		du = 302.615043206602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13572219)-sin(-0.13576968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990803873029848-0.990797446235622)×R²
    abs(0.14615961-0.14611167)×6.42679422546699e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.42679422546699e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.42679422546699e-06×40589641000000     		ar = 91559.1382731955m²