Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68584 / 43227
↖ ↑ ↗
← N 52.114939°
E  8.371582°		 ← 187.56 m → N 52.114939°
E  8.374329°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
N 52.113252°
E  8.371582°		 ← 187.56 m →
35 179 m²		 N 52.113252°
E  8.374329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523258209228516 y=0.329799652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523258209228516 × 217)
    floor (0.523258209228516 × 131072)
    floor (68584.5)     		tx = 68584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329799652099609 × 217)
    floor (0.329799652099609 × 131072)
    floor (43227.5)     		ty = 43227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68584 / 43227 ti = "17/68584/43227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68584/43227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68584 ÷ 217
    68584 ÷ 131072     		x = 0.52325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43227 ÷ 217
    43227 ÷ 131072     		y = 0.329795837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52325439453125 × 2 - 1) × π
    0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329795837402344 × 2 - 1) × π
    0.340408325195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.06942429362383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14611167} λ = 0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06942429362383))-π/2
    2×atan(2.91370158045074)-π/2
    2×1.24018680165285-π/2
    2.48037360330569-1.57079632675     		φ = 0.90957728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90957728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.114939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68584 KachelY 43227 0.14611167 0.90957728 8.371582 52.114939
    Oben rechts KachelX + 1 68585 KachelY 43227 0.14615961 0.90957728 8.374329 52.114939
    Unten links KachelX 68584 KachelY + 1 43228 0.14611167 0.90954784 8.371582 52.113252
    Unten rechts KachelX + 1 68585 KachelY + 1 43228 0.14615961 0.90954784 8.374329 52.113252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90957728-0.90954784) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dl = 187.562240000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90957728-0.90954784) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dr = 187.562240000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14611167-0.14615961) × cos(0.90957728) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.614079433663926 × 6371000     		do = 187.555665445571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14611167-0.14615961) × cos(0.90954784) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.614102668747837 × 6371000     		du = 187.562762038269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90957728)-sin(0.90954784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614079433663926-0.614102668747837)×R²
    abs(0.14615961-0.14611167)×2.32350839109996e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32350839109996e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32350839109996e-05×40589641000000     		ar = 35179.0262646584m²