Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68583 / 43429
↖ ↑ ↗
← N 51.772938°
E  8.368835°		 ← 188.99 m → N 51.772938°
E  8.371582°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
N 51.771239°
E  8.368835°		 ← 189 m →
35 713 m²		 N 51.771239°
E  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523250579833984 y=0.331340789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523250579833984 × 217)
    floor (0.523250579833984 × 131072)
    floor (68583.5)     		tx = 68583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331340789794922 × 217)
    floor (0.331340789794922 × 131072)
    floor (43429.5)     		ty = 43429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68583 / 43429 ti = "17/68583/43429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68583/43429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68583 ÷ 217
    68583 ÷ 131072     		x = 0.523246765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43429 ÷ 217
    43429 ÷ 131072     		y = 0.331336975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523246765136719 × 2 - 1) × π
    0.0464935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14606373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331336975097656 × 2 - 1) × π
    0.337326049804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.05974103990058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14606373} λ = 0.14606373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05974103990058))-π/2
    2×atan(2.88562363112176)-π/2
    2×1.23720228579654-π/2
    2.47440457159308-1.57079632675     		φ = 0.90360824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14606373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.368835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90360824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.772938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68583 KachelY 43429 0.14606373 0.90360824 8.368835 51.772938
    Oben rechts KachelX + 1 68584 KachelY 43429 0.14611167 0.90360824 8.371582 51.772938
    Unten links KachelX 68583 KachelY + 1 43430 0.14606373 0.90357858 8.368835 51.771239
    Unten rechts KachelX + 1 68584 KachelY + 1 43430 0.14611167 0.90357858 8.371582 51.771239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90360824-0.90357858) × R
    2.96599999999314e-05 × 6371000     		dl = 188.963859999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90360824-0.90357858) × R
    2.96599999999314e-05 × 6371000     		dr = 188.963859999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14606373-0.14611167) × cos(0.90360824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618779496426593 × 6371000     		do = 188.991185592905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14606373-0.14611167) × cos(0.90357858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618802796004113 × 6371000     		du = 188.998301883611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90360824)-sin(0.90357858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618779496426593-0.618802796004113)×R²
    abs(0.14611167-0.14606373)×2.32995775204525e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32995775204525e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32995775204525e-05×40589641000000     		ar = 35713.1762989577m²