Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6858 / 1782
↖ ↑ ↗
← N 80.216123°
W 29.311523°		 ← 415.18 m → N 80.216123°
W 29.289551°		 →
↑
415.33 m
↓
↑
415.33 m
↓
N 80.212388°
W 29.311523°		 ← 415.34 m →
172 468 m²		 N 80.212388°
W 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418609619140625 y=0.108795166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418609619140625 × 214)
    floor (0.418609619140625 × 16384)
    floor (6858.5)     		tx = 6858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108795166015625 × 214)
    floor (0.108795166015625 × 16384)
    floor (1782.5)     		ty = 1782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6858 / 1782 ti = "14/6858/1782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6858/1782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6858 ÷ 214
    6858 ÷ 16384     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1782 ÷ 214
    1782 ÷ 16384     		y = 0.1087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1087646484375 × 2 - 1) × π
    0.782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45820421251648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45820421251648))-π/2
    2×atan(11.6838110477745)-π/2
    2×1.48541589102994-π/2
    2.97083178205988-1.57079632675     		φ = 1.40003546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40003546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.216123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6858 KachelY 1782 -0.51158259 1.40003546 -29.311523 80.216123
    Oben rechts KachelX + 1 6859 KachelY 1782 -0.51119910 1.40003546 -29.289551 80.216123
    Unten links KachelX 6858 KachelY + 1 1783 -0.51158259 1.39997027 -29.311523 80.212388
    Unten rechts KachelX + 1 6859 KachelY + 1 1783 -0.51119910 1.39997027 -29.289551 80.212388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40003546-1.39997027) × R
    6.51899999999372e-05 × 6371000     		dl = 415.3254899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40003546-1.39997027) × R
    6.51899999999372e-05 × 6371000     		dr = 415.3254899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51119910) × cos(1.40003546) × R
    0.000383489999999931 × 0.169932198745964 × 6371000     		do = 415.180861273283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51119910) × cos(1.39997027) × R
    0.000383489999999931 × 0.169996440245594 × 6371000     		du = 415.337817055313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40003546)-sin(1.39997027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169932198745964-0.169996440245594)×R²
    abs(-0.51119910--0.51158259)×6.42414996309126e-05×R²
    0.000383489999999931×6.42414996309126e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.42414996309126e-05×40589641000000     		ar = 172467.788576611m²