Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68578 / 69538
↖ ↑ ↗
← S 10.925011°
E  8.355103°		 ← 299.89 m → S 10.925011°
E  8.357849°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.927708°
E  8.355103°		 ← 299.89 m →
89 932 m²		 S 10.927708°
E  8.357849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523212432861328 y=0.530536651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523212432861328 × 217)
    floor (0.523212432861328 × 131072)
    floor (68578.5)     		tx = 68578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530536651611328 × 217)
    floor (0.530536651611328 × 131072)
    floor (69538.5)     		ty = 69538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68578 / 69538 ti = "17/68578/69538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68578/69538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68578 ÷ 217
    68578 ÷ 131072     		x = 0.523208618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69538 ÷ 217
    69538 ÷ 131072     		y = 0.530532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523208618164062 × 2 - 1) × π
    0.046417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14582405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530532836914062 × 2 - 1) × π
    -0.061065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.191843472279465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14582405} λ = 0.14582405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191843472279465))-π/2
    2×atan(0.825436062005469)-π/2
    2×0.690059453389985-π/2
    1.38011890677997-1.57079632675     		φ = -0.19067742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14582405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19067742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.925011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68578 KachelY 69538 0.14582405 -0.19067742 8.355103 -10.925011
    Oben rechts KachelX + 1 68579 KachelY 69538 0.14587199 -0.19067742 8.357849 -10.925011
    Unten links KachelX 68578 KachelY + 1 69539 0.14582405 -0.19072449 8.355103 -10.927708
    Unten rechts KachelX + 1 68579 KachelY + 1 69539 0.14587199 -0.19072449 8.357849 -10.927708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19067742--0.19072449) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19067742--0.19072449) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14582405-0.14587199) × cos(-0.19067742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98187607301461 × 6371000     		do = 299.890226188758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14582405-0.14587199) × cos(-0.19072449) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98186715102841 × 6371000     		du = 299.887501184521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19067742)-sin(-0.19072449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98187607301461-0.98186715102841)×R²
    abs(0.14587199-0.14582405)×8.92198619961704e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.92198619961704e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.92198619961704e-06×40589641000000     		ar = 89931.5631288956m²