Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68575 / 72673
↖ ↑ ↗
← S 19.230770°
E  8.346863°		 ← 288.32 m → S 19.230770°
E  8.349609°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.233364°
E  8.346863°		 ← 288.32 m →
83 138 m²		 S 19.233364°
E  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523189544677734 y=0.554454803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523189544677734 × 217)
    floor (0.523189544677734 × 131072)
    floor (68575.5)     		tx = 68575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554454803466797 × 217)
    floor (0.554454803466797 × 131072)
    floor (72673.5)     		ty = 72673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68575 / 72673 ti = "17/68575/72673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68575/72673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68575 ÷ 217
    68575 ÷ 131072     		x = 0.523185729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72673 ÷ 217
    72673 ÷ 131072     		y = 0.554450988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523185729980469 × 2 - 1) × π
    0.0463714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14568024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554450988769531 × 2 - 1) × π
    -0.108901977539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.342125652588341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14568024} λ = 0.14568024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342125652588341))-π/2
    2×atan(0.71025895322609)-π/2
    2×0.61757803560751-π/2
    1.23515607121502-1.57079632675     		φ = -0.33564026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14568024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.346863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33564026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.230770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68575 KachelY 72673 0.14568024 -0.33564026 8.346863 -19.230770
    Oben rechts KachelX + 1 68576 KachelY 72673 0.14572817 -0.33564026 8.349609 -19.230770
    Unten links KachelX 68575 KachelY + 1 72674 0.14568024 -0.33568552 8.346863 -19.233364
    Unten rechts KachelX + 1 68576 KachelY + 1 72674 0.14572817 -0.33568552 8.349609 -19.233364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33564026--0.33568552) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33564026--0.33568552) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14568024-0.14572817) × cos(-0.33564026) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944199618325915 × 6371000     		do = 288.322712177236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14568024-0.14572817) × cos(-0.33568552) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944184709901982 × 6371000     		du = 288.31815971064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33564026)-sin(-0.33568552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944199618325915-0.944184709901982)×R²
    abs(0.14572817-0.14568024)×1.49084239330355e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49084239330355e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49084239330355e-05×40589641000000     		ar = 83137.6186664012m²