Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68575 / 69532
↖ ↑ ↗
← S 10.908830°
E  8.346863°		 ← 299.84 m → S 10.908830°
E  8.349609°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.911527°
E  8.346863°		 ← 299.84 m →
89 918 m²		 S 10.911527°
E  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523189544677734 y=0.530490875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523189544677734 × 217)
    floor (0.523189544677734 × 131072)
    floor (68575.5)     		tx = 68575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530490875244141 × 217)
    floor (0.530490875244141 × 131072)
    floor (69532.5)     		ty = 69532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68575 / 69532 ti = "17/68575/69532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68575/69532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68575 ÷ 217
    68575 ÷ 131072     		x = 0.523185729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69532 ÷ 217
    69532 ÷ 131072     		y = 0.530487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523185729980469 × 2 - 1) × π
    0.0463714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14568024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.06097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.191555850881744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14568024} λ = 0.14568024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191555850881744))-π/2
    2×atan(0.825673509225165)-π/2
    2×0.690200661521038-π/2
    1.38040132304208-1.57079632675     		φ = -0.19039500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14568024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.346863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19039500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.908830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68575 KachelY 69532 0.14568024 -0.19039500 8.346863 -10.908830
    Oben rechts KachelX + 1 68576 KachelY 69532 0.14572817 -0.19039500 8.349609 -10.908830
    Unten links KachelX 68575 KachelY + 1 69533 0.14568024 -0.19044207 8.346863 -10.911527
    Unten rechts KachelX + 1 68576 KachelY + 1 69533 0.14572817 -0.19044207 8.349609 -10.911527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19039500--0.19044207) × R
    4.70699999999824e-05 × 6371000     		dl = 299.882969999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19039500--0.19044207) × R
    4.70699999999824e-05 × 6371000     		dr = 299.882969999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14568024-0.14572817) × cos(-0.19039500) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98192955924709 × 6371000     		do = 299.844003528707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14568024-0.14572817) × cos(-0.19044207) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981920650313766 × 6371000     		du = 299.841283078742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19039500)-sin(-0.19044207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98192955924709-0.981920650313766)×R²
    abs(0.14572817-0.14568024)×8.90893332450293e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.90893332450293e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.90893332450293e-06×40589641000000     		ar = 89917.7024231363m²