Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6857 / 5325
↖ ↑ ↗
← N 53.159947°
W 29.333496°		 ← 1 464.95 m → N 53.159947°
W 29.311523°		 →
↑
1 465.14 m
↓
↑
1 465.14 m
↓
N 53.146770°
W 29.333496°		 ← 1 465.40 m →
2 146 683 m²		 N 53.146770°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418548583984375 y=0.325042724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418548583984375 × 214)
    floor (0.418548583984375 × 16384)
    floor (6857.5)     		tx = 6857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325042724609375 × 214)
    floor (0.325042724609375 × 16384)
    floor (5325.5)     		ty = 5325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6857 / 5325 ti = "14/6857/5325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6857/5325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6857 ÷ 214
    6857 ÷ 16384     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5325 ÷ 214
    5325 ÷ 16384     		y = 0.32501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32501220703125 × 2 - 1) × π
    0.3499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09948072968561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09948072968561))-π/2
    2×atan(3.00260645466475)-π/2
    2×1.2493062142099-π/2
    2.49861242841981-1.57079632675     		φ = 0.92781610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92781610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.159947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6857 KachelY 5325 -0.51196609 0.92781610 -29.333496 53.159947
    Oben rechts KachelX + 1 6858 KachelY 5325 -0.51158259 0.92781610 -29.311523 53.159947
    Unten links KachelX 6857 KachelY + 1 5326 -0.51196609 0.92758613 -29.333496 53.146770
    Unten rechts KachelX + 1 6858 KachelY + 1 5326 -0.51158259 0.92758613 -29.311523 53.146770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92781610-0.92758613) × R
    0.000229970000000024 × 6371000     		dl = 1465.13887000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92781610-0.92758613) × R
    0.000229970000000024 × 6371000     		dr = 1465.13887000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51158259) × cos(0.92781610) × R
    0.000383500000000092 × 0.599583213024718 × 6371000     		do = 1464.94877334457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51158259) × cos(0.92758613) × R
    0.000383500000000092 × 0.599767245015635 × 6371000     		du = 1465.39841475129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92781610)-sin(0.92758613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599583213024718-0.599767245015635)×R²
    abs(-0.51158259--0.51196609)×0.000184031990917322×R²
    0.000383500000000092×0.000184031990917322×6371000²
    0.000383500000000092×0.000184031990917322×40589641000000     		ar = 2146682.79339788m²