Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6857 / 2203
↖ ↑ ↗
← N 78.512452°
W 29.333496°		 ← 486.59 m → N 78.512452°
W 29.311523°		 →
↑
486.68 m
↓
↑
486.68 m
↓
N 78.508075°
W 29.333496°		 ← 486.77 m →
236 859 m²		 N 78.508075°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418548583984375 y=0.134490966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418548583984375 × 214)
    floor (0.418548583984375 × 16384)
    floor (6857.5)     		tx = 6857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134490966796875 × 214)
    floor (0.134490966796875 × 16384)
    floor (2203.5)     		ty = 2203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6857 / 2203 ti = "14/6857/2203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6857/2203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6857 ÷ 214
    6857 ÷ 16384     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2203 ÷ 214
    2203 ÷ 16384     		y = 0.13446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13446044921875 × 2 - 1) × π
    0.7310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29675273459613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29675273459613))-π/2
    2×atan(9.94184616786505)-π/2
    2×1.47054855942125-π/2
    2.94109711884251-1.57079632675     		φ = 1.37030079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37030079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.512452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6857 KachelY 2203 -0.51196609 1.37030079 -29.333496 78.512452
    Oben rechts KachelX + 1 6858 KachelY 2203 -0.51158259 1.37030079 -29.311523 78.512452
    Unten links KachelX 6857 KachelY + 1 2204 -0.51196609 1.37022440 -29.333496 78.508075
    Unten rechts KachelX + 1 6858 KachelY + 1 2204 -0.51158259 1.37022440 -29.311523 78.508075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37030079-1.37022440) × R
    7.63900000000373e-05 × 6371000     		dl = 486.680690000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37030079-1.37022440) × R
    7.63900000000373e-05 × 6371000     		dr = 486.680690000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51158259) × cos(1.37030079) × R
    0.000383500000000092 × 0.19915496543366 × 6371000     		do = 486.591045212422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51158259) × cos(1.37022440) × R
    0.000383500000000092 × 0.199229824608759 × 6371000     		du = 486.77394702547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37030079)-sin(1.37022440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19915496543366-0.199229824608759)×R²
    abs(-0.51158259--0.51196609)×7.48591750991678e-05×R²
    0.000383500000000092×7.48591750991678e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.48591750991678e-05×40589641000000     		ar = 236858.973138324m²