Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6857 / 1781
↖ ↑ ↗
← N 80.219856°
W 29.333496°		 ← 415.03 m → N 80.219856°
W 29.311523°		 →
↑
415.07 m
↓
↑
415.07 m
↓
N 80.216123°
W 29.333496°		 ← 415.19 m →
172 301 m²		 N 80.216123°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418548583984375 y=0.108734130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418548583984375 × 214)
    floor (0.418548583984375 × 16384)
    floor (6857.5)     		tx = 6857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108734130859375 × 214)
    floor (0.108734130859375 × 16384)
    floor (1781.5)     		ty = 1781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6857 / 1781 ti = "14/6857/1781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6857/1781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6857 ÷ 214
    6857 ÷ 16384     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1781 ÷ 214
    1781 ÷ 16384     		y = 0.10870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10870361328125 × 2 - 1) × π
    0.7825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45858770771344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45858770771344))-π/2
    2×atan(11.6882925924641)-π/2
    2×1.48544846896555-π/2
    2.9708969379311-1.57079632675     		φ = 1.40010061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40010061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.219856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6857 KachelY 1781 -0.51196609 1.40010061 -29.333496 80.219856
    Oben rechts KachelX + 1 6858 KachelY 1781 -0.51158259 1.40010061 -29.311523 80.219856
    Unten links KachelX 6857 KachelY + 1 1782 -0.51196609 1.40003546 -29.333496 80.216123
    Unten rechts KachelX + 1 6858 KachelY + 1 1782 -0.51158259 1.40003546 -29.311523 80.216123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40010061-1.40003546) × R
    6.51499999999583e-05 × 6371000     		dl = 415.070649999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40010061-1.40003546) × R
    6.51499999999583e-05 × 6371000     		dr = 415.070649999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51158259) × cos(1.40010061) × R
    0.000383500000000092 × 0.169867995942839 × 6371000     		do = 415.034822325325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51158259) × cos(1.40003546) × R
    0.000383500000000092 × 0.169932198745964 × 6371000     		du = 415.191687653839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40010061)-sin(1.40003546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169867995942839-0.169932198745964)×R²
    abs(-0.51158259--0.51196609)×6.42028031247466e-05×R²
    0.000383500000000092×6.42028031247466e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.42028031247466e-05×40589641000000     		ar = 172301.328632133m²