Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68569 / 43303
↖ ↑ ↗
← N 51.986572°
E  8.330383°		 ← 188.06 m → N 51.986572°
E  8.333130°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.984880°
E  8.330383°		 ← 188.06 m →
35 369 m²		 N 51.984880°
E  8.333130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523143768310547 y=0.330379486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523143768310547 × 217)
    floor (0.523143768310547 × 131072)
    floor (68569.5)     		tx = 68569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330379486083984 × 217)
    floor (0.330379486083984 × 131072)
    floor (43303.5)     		ty = 43303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68569 / 43303 ti = "17/68569/43303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68569/43303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68569 ÷ 217
    68569 ÷ 131072     		x = 0.523139953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43303 ÷ 217
    43303 ÷ 131072     		y = 0.330375671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523139953613281 × 2 - 1) × π
    0.0462799072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14539262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330375671386719 × 2 - 1) × π
    0.339248657226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.06578108925271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14539262} λ = 0.14539262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06578108925271))-π/2
    2×atan(2.9031056833459)-π/2
    2×1.23906658439228-π/2
    2.47813316878456-1.57079632675     		φ = 0.90733684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14539262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.330383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90733684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.986572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68569 KachelY 43303 0.14539262 0.90733684 8.330383 51.986572
    Oben rechts KachelX + 1 68570 KachelY 43303 0.14544055 0.90733684 8.333130 51.986572
    Unten links KachelX 68569 KachelY + 1 43304 0.14539262 0.90730732 8.330383 51.984880
    Unten rechts KachelX + 1 68570 KachelY + 1 43304 0.14544055 0.90730732 8.333130 51.984880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90733684-0.90730732) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90733684-0.90730732) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14539262-0.14544055) × cos(0.90733684) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.615846145312422 × 6371000     		do = 188.056029100282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14539262-0.14544055) × cos(0.90730732) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.615869402861357 × 6371000     		du = 188.063131072638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90733684)-sin(0.90730732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615846145312422-0.615869402861357)×R²
    abs(0.14544055-0.14539262)×2.32575489349518e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32575489349518e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32575489349518e-05×40589641000000     		ar = 35368.7263037942m²