Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68567 / 43581
↖ ↑ ↗
← N 51.513870°
E  8.324890°		 ← 190.07 m → N 51.513870°
E  8.327637°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
N 51.512161°
E  8.324890°		 ← 190.08 m →
36 124 m²		 N 51.512161°
E  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523128509521484 y=0.332500457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523128509521484 × 217)
    floor (0.523128509521484 × 131072)
    floor (68567.5)     		tx = 68567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332500457763672 × 217)
    floor (0.332500457763672 × 131072)
    floor (43581.5)     		ty = 43581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68567 / 43581 ti = "17/68567/43581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68567/43581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68567 ÷ 217
    68567 ÷ 131072     		x = 0.523124694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43581 ÷ 217
    43581 ÷ 131072     		y = 0.332496643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523124694824219 × 2 - 1) × π
    0.0462493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14529674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332496643066406 × 2 - 1) × π
    0.335006713867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.05245463115833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14529674} λ = 0.14529674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05245463115833))-π/2
    2×atan(2.86467421356543)-π/2
    2×1.23494148914877-π/2
    2.46988297829755-1.57079632675     		φ = 0.89908665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14529674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.324890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89908665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.513870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68567 KachelY 43581 0.14529674 0.89908665 8.324890 51.513870
    Oben rechts KachelX + 1 68568 KachelY 43581 0.14534468 0.89908665 8.327637 51.513870
    Unten links KachelX 68567 KachelY + 1 43582 0.14529674 0.89905682 8.324890 51.512161
    Unten rechts KachelX + 1 68568 KachelY + 1 43582 0.14534468 0.89905682 8.327637 51.512161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89908665-0.89905682) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89908665-0.89905682) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14529674-0.14534468) × cos(0.89908665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.622325160528045 × 6371000     		do = 190.074122674882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14529674-0.14534468) × cos(0.89905682) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.622348509947223 × 6371000     		du = 190.081254188513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89908665)-sin(0.89905682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622325160528045-0.622348509947223)×R²
    abs(0.14534468-0.14529674)×2.33494191784756e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33494191784756e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33494191784756e-05×40589641000000     		ar = 36123.6811507157m²