Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68565 / 43282
↖ ↑ ↗
← N 52.022078°
E  8.319397°		 ← 187.95 m → N 52.022078°
E  8.322144°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
N 52.020388°
E  8.319397°		 ← 187.95 m →
35 324 m²		 N 52.020388°
E  8.322144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523113250732422 y=0.330219268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523113250732422 × 217)
    floor (0.523113250732422 × 131072)
    floor (68565.5)     		tx = 68565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330219268798828 × 217)
    floor (0.330219268798828 × 131072)
    floor (43282.5)     		ty = 43282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68565 / 43282 ti = "17/68565/43282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68565/43282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68565 ÷ 217
    68565 ÷ 131072     		x = 0.523109436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43282 ÷ 217
    43282 ÷ 131072     		y = 0.330215454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523109436035156 × 2 - 1) × π
    0.0462188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14520087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330215454101562 × 2 - 1) × π
    0.339569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06678776414473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14520087} λ = 0.14520087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06678776414473))-π/2
    2×atan(2.90602963843537)-π/2
    2×1.23937643990419-π/2
    2.47875287980837-1.57079632675     		φ = 0.90795655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14520087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.319397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90795655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.022078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68565 KachelY 43282 0.14520087 0.90795655 8.319397 52.022078
    Oben rechts KachelX + 1 68566 KachelY 43282 0.14524881 0.90795655 8.322144 52.022078
    Unten links KachelX 68565 KachelY + 1 43283 0.14520087 0.90792705 8.319397 52.020388
    Unten rechts KachelX + 1 68566 KachelY + 1 43283 0.14524881 0.90792705 8.322144 52.020388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90795655-0.90792705) × R
    2.95000000000156e-05 × 6371000     		dl = 187.9445000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90795655-0.90792705) × R
    2.95000000000156e-05 × 6371000     		dr = 187.9445000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14520087-0.14524881) × cos(0.90795655) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615357778377996 × 6371000     		do = 187.946104825841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14520087-0.14524881) × cos(0.90792705) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615381031424271 × 6371000     		du = 187.953206904707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90795655)-sin(0.90792705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615357778377996-0.615381031424271)×R²
    abs(0.14524881-0.14520087)×2.32530462758174e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32530462758174e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32530462758174e-05×40589641000000     		ar = 35324.1040993917m²