Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68561 / 69573
↖ ↑ ↗
← S 11.019384°
E  8.308411°		 ← 299.79 m → S 11.019384°
E  8.311157°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.022080°
E  8.308411°		 ← 299.79 m →
89 865 m²		 S 11.022080°
E  8.311157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523082733154297 y=0.530803680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523082733154297 × 217)
    floor (0.523082733154297 × 131072)
    floor (68561.5)     		tx = 68561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530803680419922 × 217)
    floor (0.530803680419922 × 131072)
    floor (69573.5)     		ty = 69573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68561 / 69573 ti = "17/68561/69573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68561/69573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68561 ÷ 217
    68561 ÷ 131072     		x = 0.523078918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69573 ÷ 217
    69573 ÷ 131072     		y = 0.530799865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523078918457031 × 2 - 1) × π
    0.0461578369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14500912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530799865722656 × 2 - 1) × π
    -0.0615997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.193521263766167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14500912} λ = 0.14500912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193521263766167))-π/2
    2×atan(0.824052313553108)-π/2
    2×0.68923589304989-π/2
    1.37847178609978-1.57079632675     		φ = -0.19232454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14500912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.308411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19232454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.019384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68561 KachelY 69573 0.14500912 -0.19232454 8.308411 -11.019384
    Oben rechts KachelX + 1 68562 KachelY 69573 0.14505706 -0.19232454 8.311157 -11.019384
    Unten links KachelX 68561 KachelY + 1 69574 0.14500912 -0.19237159 8.308411 -11.022080
    Unten rechts KachelX + 1 68562 KachelY + 1 69574 0.14505706 -0.19237159 8.311157 -11.022080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19232454--0.19237159) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19232454--0.19237159) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14500912-0.14505706) × cos(-0.19232454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981562572334928 × 6371000     		do = 299.794475011676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14500912-0.14505706) × cos(-0.19237159) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981553578060166 × 6371000     		du = 299.791727928651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19232454)-sin(-0.19237159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981562572334928-0.981553578060166)×R²
    abs(0.14505706-0.14500912)×8.99427476253045e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.99427476253045e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.99427476253045e-06×40589641000000     		ar = 89864.6460340456m²