Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68560 / 68538
↖ ↑ ↗
← S  8.216927°
E  8.305664°		 ← 302.29 m → S  8.216927°
E  8.308411°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.219646°
E  8.305664°		 ← 302.29 m →
91 383 m²		 S  8.219646°
E  8.308411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523075103759766 y=0.522907257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523075103759766 × 217)
    floor (0.523075103759766 × 131072)
    floor (68560.5)     		tx = 68560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522907257080078 × 217)
    floor (0.522907257080078 × 131072)
    floor (68538.5)     		ty = 68538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68560 / 68538 ti = "17/68560/68538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68560/68538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68560 ÷ 217
    68560 ÷ 131072     		x = 0.5230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68538 ÷ 217
    68538 ÷ 131072     		y = 0.522903442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5230712890625 × 2 - 1) × π
    0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522903442382812 × 2 - 1) × π
    -0.045806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.143906572659409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14496118} λ = 0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143906572659409))-π/2
    2×atan(0.865968649427898)-π/2
    2×0.713691946973008-π/2
    1.42738389394602-1.57079632675     		φ = -0.14341243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14341243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.216927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68560 KachelY 68538 0.14496118 -0.14341243 8.305664 -8.216927
    Oben rechts KachelX + 1 68561 KachelY 68538 0.14500912 -0.14341243 8.308411 -8.216927
    Unten links KachelX 68560 KachelY + 1 68539 0.14496118 -0.14345988 8.305664 -8.219646
    Unten rechts KachelX + 1 68561 KachelY + 1 68539 0.14500912 -0.14345988 8.308411 -8.219646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14341243--0.14345988) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14341243--0.14345988) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14496118-0.14500912) × cos(-0.14341243) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989734050658225 × 6371000     		do = 302.290254825463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14496118-0.14500912) × cos(-0.14345988) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989727267926527 × 6371000     		du = 302.288183204615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14341243)-sin(-0.14345988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989734050658225-0.989727267926527)×R²
    abs(0.14500912-0.14496118)×6.78273169851806e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.78273169851806e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.78273169851806e-06×40589641000000     		ar = 91383.2249678123m²