Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6856 / 5314
↖ ↑ ↗
← N 53.304621°
W 29.355469°		 ← 1 459.97 m → N 53.304621°
W 29.333496°		 →
↑
1 460.17 m
↓
↑
1 460.17 m
↓
N 53.291489°
W 29.355469°		 ← 1 460.42 m →
2 132 129 m²		 N 53.291489°
W 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418487548828125 y=0.324371337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418487548828125 × 214)
    floor (0.418487548828125 × 16384)
    floor (6856.5)     		tx = 6856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324371337890625 × 214)
    floor (0.324371337890625 × 16384)
    floor (5314.5)     		ty = 5314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6856 / 5314 ti = "14/6856/5314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6856/5314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6856 ÷ 214
    6856 ÷ 16384     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5314 ÷ 214
    5314 ÷ 16384     		y = 0.3243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3243408203125 × 2 - 1) × π
    0.351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10369917685217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10369917685217))-π/2
    2×atan(3.01529954509833)-π/2
    2×1.25056873553227-π/2
    2.50113747106455-1.57079632675     		φ = 0.93034114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93034114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.304621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6856 KachelY 5314 -0.51234958 0.93034114 -29.355469 53.304621
    Oben rechts KachelX + 1 6857 KachelY 5314 -0.51196609 0.93034114 -29.333496 53.304621
    Unten links KachelX 6856 KachelY + 1 5315 -0.51234958 0.93011195 -29.355469 53.291489
    Unten rechts KachelX + 1 6857 KachelY + 1 5315 -0.51196609 0.93011195 -29.333496 53.291489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93034114-0.93011195) × R
    0.00022918999999999 × 6371000     		dl = 1460.16948999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93034114-0.93011195) × R
    0.00022918999999999 × 6371000     		dr = 1460.16948999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51196609) × cos(0.93034114) × R
    0.000383489999999931 × 0.597560482879056 × 6371000     		do = 1459.96860968939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51196609) × cos(0.93011195) × R
    0.000383489999999931 × 0.597744237188836 × 6371000     		du = 1460.41756093677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93034114)-sin(0.93011195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597560482879056-0.597744237188836)×R²
    abs(-0.51196609--0.51234958)×0.000183754309779571×R²
    0.000383489999999931×0.000183754309779571×6371000²
    0.000383489999999931×0.000183754309779571×40589641000000     		ar = 2132129.40201731m²