Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6856 / 1771
↖ ↑ ↗
← N 80.257110°
W 29.355469°		 ← 413.46 m → N 80.257110°
W 29.333496°		 →
↑
413.54 m
↓
↑
413.54 m
↓
N 80.253391°
W 29.355469°		 ← 413.61 m →
171 015 m²		 N 80.253391°
W 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418487548828125 y=0.108123779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418487548828125 × 214)
    floor (0.418487548828125 × 16384)
    floor (6856.5)     		tx = 6856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108123779296875 × 214)
    floor (0.108123779296875 × 16384)
    floor (1771.5)     		ty = 1771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6856 / 1771 ti = "14/6856/1771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6856/1771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6856 ÷ 214
    6856 ÷ 16384     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1771 ÷ 214
    1771 ÷ 16384     		y = 0.10809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10809326171875 × 2 - 1) × π
    0.7838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46242265968304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46242265968304))-π/2
    2×atan(11.73320269216)-π/2
    2×1.48577357203861-π/2
    2.97154714407723-1.57079632675     		φ = 1.40075082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40075082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.257110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6856 KachelY 1771 -0.51234958 1.40075082 -29.355469 80.257110
    Oben rechts KachelX + 1 6857 KachelY 1771 -0.51196609 1.40075082 -29.333496 80.257110
    Unten links KachelX 6856 KachelY + 1 1772 -0.51234958 1.40068591 -29.355469 80.253391
    Unten rechts KachelX + 1 6857 KachelY + 1 1772 -0.51196609 1.40068591 -29.333496 80.253391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40075082-1.40068591) × R
    6.49100000000846e-05 × 6371000     		dl = 413.541610000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40075082-1.40068591) × R
    6.49100000000846e-05 × 6371000     		dr = 413.541610000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51196609) × cos(1.40075082) × R
    0.000383489999999931 × 0.169227199695644 × 6371000     		do = 413.458397166607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51196609) × cos(1.40068591) × R
    0.000383489999999931 × 0.169291173146512 × 6371000     		du = 413.614698047933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40075082)-sin(1.40068591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169227199695644-0.169291173146512)×R²
    abs(-0.51196609--0.51234958)×6.39734508672551e-05×R²
    0.000383489999999931×6.39734508672551e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.39734508672551e-05×40589641000000     		ar = 171014.569750543m²