Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68557 / 69585
↖ ↑ ↗
← S 11.051734°
E  8.297424°		 ← 299.76 m → S 11.051734°
E  8.300171°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
S 11.054429°
E  8.297424°		 ← 299.76 m →
89 836 m²		 S 11.054429°
E  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523052215576172 y=0.530895233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523052215576172 × 217)
    floor (0.523052215576172 × 131072)
    floor (68557.5)     		tx = 68557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530895233154297 × 217)
    floor (0.530895233154297 × 131072)
    floor (69585.5)     		ty = 69585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68557 / 69585 ti = "17/68557/69585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68557/69585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68557 ÷ 217
    68557 ÷ 131072     		x = 0.523048400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69585 ÷ 217
    69585 ÷ 131072     		y = 0.530891418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523048400878906 × 2 - 1) × π
    0.0460968017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14481737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530891418457031 × 2 - 1) × π
    -0.0617828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.194096506561607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14481737} λ = 0.14481737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194096506561607))-π/2
    2×atan(0.823578419711748)-π/2
    2×0.688953590186165-π/2
    1.37790718037233-1.57079632675     		φ = -0.19288915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14481737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.297424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19288915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.051734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68557 KachelY 69585 0.14481737 -0.19288915 8.297424 -11.051734
    Oben rechts KachelX + 1 68558 KachelY 69585 0.14486531 -0.19288915 8.300171 -11.051734
    Unten links KachelX 68557 KachelY + 1 69586 0.14481737 -0.19293619 8.297424 -11.054429
    Unten rechts KachelX + 1 68558 KachelY + 1 69586 0.14486531 -0.19293619 8.300171 -11.054429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19288915--0.19293619) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19288915--0.19293619) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14481737-0.14486531) × cos(-0.19288915) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981454495715948 × 6371000     		do = 299.761465630347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14481737-0.14486531) × cos(-0.19293619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981445477285042 × 6371000     		du = 299.758711169414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19288915)-sin(-0.19293619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981454495715948-0.981445477285042)×R²
    abs(0.14486531-0.14481737)×9.01843090572729e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.01843090572729e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.01843090572729e-06×40589641000000     		ar = 89835.6524676601m²