Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68557 / 69583
↖ ↑ ↗
← S 11.046343°
E  8.297424°		 ← 299.77 m → S 11.046343°
E  8.300171°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.049038°
E  8.297424°		 ← 299.76 m →
89 856 m²		 S 11.049038°
E  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523052215576172 y=0.530879974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523052215576172 × 217)
    floor (0.523052215576172 × 131072)
    floor (68557.5)     		tx = 68557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530879974365234 × 217)
    floor (0.530879974365234 × 131072)
    floor (69583.5)     		ty = 69583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68557 / 69583 ti = "17/68557/69583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68557/69583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68557 ÷ 217
    68557 ÷ 131072     		x = 0.523048400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69583 ÷ 217
    69583 ÷ 131072     		y = 0.530876159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523048400878906 × 2 - 1) × π
    0.0460968017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14481737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530876159667969 × 2 - 1) × π
    -0.0617523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.194000632762367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14481737} λ = 0.14481737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194000632762367))-π/2
    2×atan(0.823657383089016)-π/2
    2×0.68900063850411-π/2
    1.37800127700822-1.57079632675     		φ = -0.19279505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14481737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.297424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19279505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.046343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68557 KachelY 69583 0.14481737 -0.19279505 8.297424 -11.046343
    Oben rechts KachelX + 1 68558 KachelY 69583 0.14486531 -0.19279505 8.300171 -11.046343
    Unten links KachelX 68557 KachelY + 1 69584 0.14481737 -0.19284210 8.297424 -11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 68558 KachelY + 1 69584 0.14486531 -0.19284210 8.300171 -11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19279505--0.19284210) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dl = 299.755549999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19279505--0.19284210) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dr = 299.755549999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14481737-0.14486531) × cos(-0.19279505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981472529894623 × 6371000     		do = 299.766973732714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14481737-0.14486531) × cos(-0.19284210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 299.764220013325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19279505)-sin(-0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981472529894623-0.98146351389162)×R²
    abs(0.14486531-0.14481737)×9.01600300351468e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.01600300351468e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.01600300351468e-06×40589641000000     		ar = 89856.401378306m²