Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68553 / 69589
↖ ↑ ↗
← S 11.062516°
E  8.286438°		 ← 299.69 m → S 11.062516°
E  8.289184°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.065212°
E  8.286438°		 ← 299.69 m →
89 833 m²		 S 11.065212°
E  8.289184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523021697998047 y=0.530925750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523021697998047 × 217)
    floor (0.523021697998047 × 131072)
    floor (68553.5)     		tx = 68553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530925750732422 × 217)
    floor (0.530925750732422 × 131072)
    floor (69589.5)     		ty = 69589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68553 / 69589 ti = "17/68553/69589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68553/69589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68553 ÷ 217
    68553 ÷ 131072     		x = 0.523017883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69589 ÷ 217
    69589 ÷ 131072     		y = 0.530921936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523017883300781 × 2 - 1) × π
    0.0460357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14462563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530921936035156 × 2 - 1) × π
    -0.0618438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194288254160088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14462563} λ = 0.14462563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194288254160088))-π/2
    2×atan(0.823420515666952)-π/2
    2×0.688859496144692-π/2
    1.37771899228938-1.57079632675     		φ = -0.19307733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14462563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.286438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19307733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.062516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68553 KachelY 69589 0.14462563 -0.19307733 8.286438 -11.062516
    Oben rechts KachelX + 1 68554 KachelY 69589 0.14467356 -0.19307733 8.289184 -11.062516
    Unten links KachelX 68553 KachelY + 1 69590 0.14462563 -0.19312438 8.286438 -11.065212
    Unten rechts KachelX + 1 68554 KachelY + 1 69590 0.14467356 -0.19312438 8.289184 -11.065212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19307733--0.19312438) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19307733--0.19312438) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14462563-0.14467356) × cos(-0.19307733) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981418405124577 × 6371000     		do = 299.687916468213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14462563-0.14467356) × cos(-0.19312438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981409376086787 × 6371000     		du = 299.685159342905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19307733)-sin(-0.19312438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981418405124577-0.981409376086787)×R²
    abs(0.14467356-0.14462563)×9.02903778987607e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.02903778987607e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.02903778987607e-06×40589641000000     		ar = 89832.70301409m²