Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68552 / 69576
↖ ↑ ↗
← S 11.027472°
E  8.283691°		 ← 299.79 m → S 11.027472°
E  8.286438°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.030168°
E  8.283691°		 ← 299.78 m →
89 862 m²		 S 11.030168°
E  8.286438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523014068603516 y=0.530826568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523014068603516 × 217)
    floor (0.523014068603516 × 131072)
    floor (68552.5)     		tx = 68552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530826568603516 × 217)
    floor (0.530826568603516 × 131072)
    floor (69576.5)     		ty = 69576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68552 / 69576 ti = "17/68552/69576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68552/69576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68552 ÷ 217
    68552 ÷ 131072     		x = 0.52301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69576 ÷ 217
    69576 ÷ 131072     		y = 0.53082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    0.0460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14457769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.193665074465027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14457769} λ = 0.14457769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193665074465027))-π/2
    2×atan(0.823933814534916)-π/2
    2×0.689165314420424-π/2
    1.37833062884085-1.57079632675     		φ = -0.19246570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14457769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.283691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19246570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.027472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68552 KachelY 69576 0.14457769 -0.19246570 8.283691 -11.027472
    Oben rechts KachelX + 1 68553 KachelY 69576 0.14462563 -0.19246570 8.286438 -11.027472
    Unten links KachelX 68552 KachelY + 1 69577 0.14457769 -0.19251275 8.283691 -11.030168
    Unten rechts KachelX + 1 68553 KachelY + 1 69577 0.14462563 -0.19251275 8.286438 -11.030168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19246570--0.19251275) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19246570--0.19251275) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14457769-0.14462563) × cos(-0.19246570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981535581079262 × 6371000     		do = 299.78623118744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14457769-0.14462563) × cos(-0.19251275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981526580285494 × 6371000     		du = 299.783482113343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19246570)-sin(-0.19251275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981535581079262-0.981526580285494)×R²
    abs(0.14462563-0.14457769)×9.00079376731089e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.00079376731089e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.00079376731089e-06×40589641000000     		ar = 89862.1746034877m²