Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6855 / 1769
↖ ↑ ↗
← N 80.264544°
W 29.377442°		 ← 413.16 m → N 80.264544°
W 29.355469°		 →
↑
413.22 m
↓
↑
413.22 m
↓
N 80.260827°
W 29.377442°		 ← 413.31 m →
170 758 m²		 N 80.260827°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418426513671875 y=0.108001708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418426513671875 × 214)
    floor (0.418426513671875 × 16384)
    floor (6855.5)     		tx = 6855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108001708984375 × 214)
    floor (0.108001708984375 × 16384)
    floor (1769.5)     		ty = 1769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6855 / 1769 ti = "14/6855/1769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6855/1769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6855 ÷ 214
    6855 ÷ 16384     		x = 0.41839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1769 ÷ 214
    1769 ÷ 16384     		y = 0.10797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10797119140625 × 2 - 1) × π
    0.7840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46318965007697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51273308} λ = -0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46318965007697))-π/2
    2×atan(11.7422053979679)-π/2
    2×1.48583844533487-π/2
    2.97167689066975-1.57079632675     		φ = 1.40088056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40088056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.264544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6855 KachelY 1769 -0.51273308 1.40088056 -29.377442 80.264544
    Oben rechts KachelX + 1 6856 KachelY 1769 -0.51234958 1.40088056 -29.355469 80.264544
    Unten links KachelX 6855 KachelY + 1 1770 -0.51273308 1.40081570 -29.377442 80.260827
    Unten rechts KachelX + 1 6856 KachelY + 1 1770 -0.51234958 1.40081570 -29.355469 80.260827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40088056-1.40081570) × R
    6.48599999999444e-05 × 6371000     		dl = 413.223059999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40088056-1.40081570) × R
    6.48599999999444e-05 × 6371000     		dr = 413.223059999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51273308--0.51234958) × cos(1.40088056) × R
    0.000383499999999981 × 0.169099329503082 × 6371000     		do = 413.156756139276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51273308--0.51234958) × cos(1.40081570) × R
    0.000383499999999981 × 0.169163255099412 × 6371000     		du = 413.312944174389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40088056)-sin(1.40081570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169099329503082-0.169163255099412)×R²
    abs(-0.51234958--0.51273308)×6.39255963299501e-05×R²
    0.000383499999999981×6.39255963299501e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.39255963299501e-05×40589641000000     		ar = 170758.169339205m²