Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68548 / 68556
↖ ↑ ↗
← S  8.265855°
E  8.272705°		 ← 302.25 m → S  8.265855°
E  8.275452°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.268573°
E  8.272705°		 ← 302.25 m →
91 333 m²		 S  8.268573°
E  8.275452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522983551025391 y=0.523044586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522983551025391 × 217)
    floor (0.522983551025391 × 131072)
    floor (68548.5)     		tx = 68548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523044586181641 × 217)
    floor (0.523044586181641 × 131072)
    floor (68556.5)     		ty = 68556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68548 / 68556 ti = "17/68548/68556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68548/68556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68548 ÷ 217
    68548 ÷ 131072     		x = 0.522979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68556 ÷ 217
    68556 ÷ 131072     		y = 0.523040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.04608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.14476943685257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14438594} λ = 0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14476943685257))-π/2
    2×atan(0.865221758367023)-π/2
    2×0.713264970316837-π/2
    1.42652994063367-1.57079632675     		φ = -0.14426639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14426639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.265855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68548 KachelY 68556 0.14438594 -0.14426639 8.272705 -8.265855
    Oben rechts KachelX + 1 68549 KachelY 68556 0.14443388 -0.14426639 8.275452 -8.265855
    Unten links KachelX 68548 KachelY + 1 68557 0.14438594 -0.14431382 8.272705 -8.268573
    Unten rechts KachelX + 1 68549 KachelY + 1 68557 0.14443388 -0.14431382 8.275452 -8.268573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14426639--0.14431382) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14426639--0.14431382) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14438594-0.14443388) × cos(-0.14426639) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989611640686317 × 6371000     		do = 302.252867669209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14438594-0.14443388) × cos(-0.14431382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989604820729081 × 6371000     		du = 302.250784678724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14426639)-sin(-0.14431382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989611640686317-0.989604820729081)×R²
    abs(0.14443388-0.14438594)×6.81995723617046e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.81995723617046e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.81995723617046e-06×40589641000000     		ar = 91333.4080365895m²