Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68548 / 68550
↖ ↑ ↗
← S  8.249547°
E  8.272705°		 ← 302.27 m → S  8.249547°
E  8.275452°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.252265°
E  8.272705°		 ← 302.26 m →
91 356 m²		 S  8.252265°
E  8.275452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522983551025391 y=0.522998809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522983551025391 × 217)
    floor (0.522983551025391 × 131072)
    floor (68548.5)     		tx = 68548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522998809814453 × 217)
    floor (0.522998809814453 × 131072)
    floor (68550.5)     		ty = 68550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68548 / 68550 ti = "17/68548/68550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68548/68550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68548 ÷ 217
    68548 ÷ 131072     		x = 0.522979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68550 ÷ 217
    68550 ÷ 131072     		y = 0.522994995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522994995117188 × 2 - 1) × π
    -0.045989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.144481815454849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14438594} λ = 0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144481815454849))-π/2
    2×atan(0.865470650450132)-π/2
    2×0.713407289999103-π/2
    1.42681457999821-1.57079632675     		φ = -0.14398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.249547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68548 KachelY 68550 0.14438594 -0.14398175 8.272705 -8.249547
    Oben rechts KachelX + 1 68549 KachelY 68550 0.14443388 -0.14398175 8.275452 -8.249547
    Unten links KachelX 68548 KachelY + 1 68551 0.14438594 -0.14402919 8.272705 -8.252265
    Unten rechts KachelX + 1 68549 KachelY + 1 68551 0.14443388 -0.14402919 8.275452 -8.252265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14398175--0.14402919) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dl = 302.240240000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14398175--0.14402919) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dr = 302.240240000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14438594-0.14443388) × cos(-0.14398175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989652522287348 × 6371000     		do = 302.265353962456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14438594-0.14443388) × cos(-0.14402919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989645714255252 × 6371000     		du = 302.263274614216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14398175)-sin(-0.14402919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989652522287348-0.989645714255252)×R²
    abs(0.14443388-0.14438594)×6.80803209596181e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.80803209596181e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.80803209596181e-06×40589641000000     		ar = 91356.4389110601m²