Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68548 / 43428
↖ ↑ ↗
← N 51.774638°
E  8.272705°		 ← 188.98 m → N 51.774638°
E  8.275452°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 51.772938°
E  8.272705°		 ← 188.99 m →
35 724 m²		 N 51.772938°
E  8.275452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522983551025391 y=0.331333160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522983551025391 × 217)
    floor (0.522983551025391 × 131072)
    floor (68548.5)     		tx = 68548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331333160400391 × 217)
    floor (0.331333160400391 × 131072)
    floor (43428.5)     		ty = 43428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68548 / 43428 ti = "17/68548/43428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68548/43428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68548 ÷ 217
    68548 ÷ 131072     		x = 0.522979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43428 ÷ 217
    43428 ÷ 131072     		y = 0.331329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331329345703125 × 2 - 1) × π
    0.33734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0597889768002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14438594} λ = 0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0597889768002))-π/2
    2×atan(2.88576196228767)-π/2
    2×1.2372171167025-π/2
    2.474434233405-1.57079632675     		φ = 0.90363791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90363791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.774638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68548 KachelY 43428 0.14438594 0.90363791 8.272705 51.774638
    Oben rechts KachelX + 1 68549 KachelY 43428 0.14443388 0.90363791 8.275452 51.774638
    Unten links KachelX 68548 KachelY + 1 43429 0.14438594 0.90360824 8.272705 51.772938
    Unten rechts KachelX + 1 68549 KachelY + 1 43429 0.14443388 0.90360824 8.275452 51.772938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90363791-0.90360824) × R
    2.96700000000927e-05 × 6371000     		dl = 189.02757000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90363791-0.90360824) × R
    2.96700000000927e-05 × 6371000     		dr = 189.02757000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14438594-0.14443388) × cos(0.90363791) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618756188448891 × 6371000     		do = 188.984066736568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14438594-0.14443388) × cos(0.90360824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.618779496426593 × 6371000     		du = 188.991185592905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90363791)-sin(0.90360824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618756188448891-0.618779496426593)×R²
    abs(0.14443388-0.14438594)×2.33079777013367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33079777013367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33079777013367e-05×40589641000000     		ar = 35723.8717366607m²