Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68547 / 68415
↖ ↑ ↗
← S  7.882427°
E  8.269958°		 ← 302.54 m → S  7.882427°
E  8.272705°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.885147°
E  8.269958°		 ← 302.54 m →
91 517 m²		 S  7.885147°
E  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522975921630859 y=0.521968841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522975921630859 × 217)
    floor (0.522975921630859 × 131072)
    floor (68547.5)     		tx = 68547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521968841552734 × 217)
    floor (0.521968841552734 × 131072)
    floor (68415.5)     		ty = 68415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68547 / 68415 ti = "17/68547/68415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68547/68415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68547 ÷ 217
    68547 ÷ 131072     		x = 0.522972106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68415 ÷ 217
    68415 ÷ 131072     		y = 0.521965026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522972106933594 × 2 - 1) × π
    0.0459442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14433800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521965026855469 × 2 - 1) × π
    -0.0439300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.138010334006142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14433800} λ = 0.14433800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138010334006142))-π/2
    2×atan(0.871089689853081)-π/2
    2×0.716611014256785-π/2
    1.43322202851357-1.57079632675     		φ = -0.13757430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14433800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.269958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13757430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.882427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68547 KachelY 68415 0.14433800 -0.13757430 8.269958 -7.882427
    Oben rechts KachelX + 1 68548 KachelY 68415 0.14438594 -0.13757430 8.272705 -7.882427
    Unten links KachelX 68547 KachelY + 1 68416 0.14433800 -0.13762178 8.269958 -7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 68548 KachelY + 1 68416 0.14438594 -0.13762178 8.272705 -7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13757430--0.13762178) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13757430--0.13762178) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14433800-0.14438594) × cos(-0.13757430) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990551572389706 × 6371000     		do = 302.539947005266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14433800-0.14438594) × cos(-0.13762178) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 302.537957902165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13757430)-sin(-0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990551572389706-0.990545059830871)×R²
    abs(0.14438594-0.14433800)×6.5125588352144e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.5125588352144e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.5125588352144e-06×40589641000000     		ar = 91516.5446427885m²