Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68547 / 44163
↖ ↑ ↗
← N 50.508187°
E  8.269958°		 ← 194.24 m → N 50.508187°
E  8.272705°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
N 50.506440°
E  8.269958°		 ← 194.25 m →
37 732 m²		 N 50.506440°
E  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522975921630859 y=0.336940765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522975921630859 × 217)
    floor (0.522975921630859 × 131072)
    floor (68547.5)     		tx = 68547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336940765380859 × 217)
    floor (0.336940765380859 × 131072)
    floor (44163.5)     		ty = 44163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68547 / 44163 ti = "17/68547/44163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68547/44163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68547 ÷ 217
    68547 ÷ 131072     		x = 0.522972106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44163 ÷ 217
    44163 ÷ 131072     		y = 0.336936950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522972106933594 × 2 - 1) × π
    0.0459442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14433800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336936950683594 × 2 - 1) × π
    0.326126098632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02455535557946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14433800} λ = 0.14433800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02455535557946))-π/2
    2×atan(2.78585646959542)-π/2
    2×1.22616524110158-π/2
    2.45233048220317-1.57079632675     		φ = 0.88153416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14433800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.269958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88153416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.508187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68547 KachelY 44163 0.14433800 0.88153416 8.269958 50.508187
    Oben rechts KachelX + 1 68548 KachelY 44163 0.14438594 0.88153416 8.272705 50.508187
    Unten links KachelX 68547 KachelY + 1 44164 0.14433800 0.88150367 8.269958 50.506440
    Unten rechts KachelX + 1 68548 KachelY + 1 44164 0.14438594 0.88150367 8.272705 50.506440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88153416-0.88150367) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dl = 194.251789999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88153416-0.88150367) × R
    3.04899999999941e-05 × 6371000     		dr = 194.251789999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14433800-0.14438594) × cos(0.88153416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.635967958089706 × 6371000     		do = 194.240984215823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14433800-0.14438594) × cos(0.88150367) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.635991487398567 × 6371000     		du = 194.248170672393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88153416)-sin(0.88150367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635967958089706-0.635991487398567)×R²
    abs(0.14438594-0.14433800)×2.3529308861403e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3529308861403e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3529308861403e-05×40589641000000     		ar = 37732.3568692368m²