Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68546 / 68540
↖ ↑ ↗
← S  8.222364°
E  8.267212°		 ← 302.22 m → S  8.222364°
E  8.269958°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.225082°
E  8.267212°		 ← 302.22 m →
91 363 m²		 S  8.225082°
E  8.269958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522968292236328 y=0.522922515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522968292236328 × 217)
    floor (0.522968292236328 × 131072)
    floor (68546.5)     		tx = 68546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522922515869141 × 217)
    floor (0.522922515869141 × 131072)
    floor (68540.5)     		ty = 68540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68546 / 68540 ti = "17/68546/68540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68546/68540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68546 ÷ 217
    68546 ÷ 131072     		x = 0.522964477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68540 ÷ 217
    68540 ÷ 131072     		y = 0.522918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522964477539062 × 2 - 1) × π
    0.045928955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14429007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.04583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.144002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14429007} λ = 0.14429007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144002446458649))-π/2
    2×atan(0.865885629703226)-π/2
    2×0.713644502516315-π/2
    1.42728900503263-1.57079632675     		φ = -0.14350732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14429007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.267212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14350732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.222364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68546 KachelY 68540 0.14429007 -0.14350732 8.267212 -8.222364
    Oben rechts KachelX + 1 68547 KachelY 68540 0.14433800 -0.14350732 8.269958 -8.222364
    Unten links KachelX 68546 KachelY + 1 68541 0.14429007 -0.14355477 8.267212 -8.225082
    Unten rechts KachelX + 1 68547 KachelY + 1 68541 0.14433800 -0.14355477 8.269958 -8.225082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14350732--0.14355477) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14350732--0.14355477) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14429007-0.14433800) × cos(-0.14350732) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989720484396608 × 6371000     		do = 302.223056247941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14429007-0.14433800) × cos(-0.14355477) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989713697208647 × 6371000     		du = 302.220983698448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14350732)-sin(-0.14355477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989720484396608-0.989713697208647)×R²
    abs(0.14433800-0.14429007)×6.78718796043309e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.78718796043309e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.78718796043309e-06×40589641000000     		ar = 91362.910431992m²