Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68546 / 68411
↖ ↑ ↗
← S  7.871544°
E  8.267212°		 ← 302.48 m → S  7.871544°
E  8.269958°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.874264°
E  8.267212°		 ← 302.48 m →
91 500 m²		 S  7.874264°
E  8.269958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522968292236328 y=0.521938323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522968292236328 × 217)
    floor (0.522968292236328 × 131072)
    floor (68546.5)     		tx = 68546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521938323974609 × 217)
    floor (0.521938323974609 × 131072)
    floor (68411.5)     		ty = 68411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68546 / 68411 ti = "17/68546/68411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68546/68411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68546 ÷ 217
    68546 ÷ 131072     		x = 0.522964477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68411 ÷ 217
    68411 ÷ 131072     		y = 0.521934509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522964477539062 × 2 - 1) × π
    0.045928955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14429007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521934509277344 × 2 - 1) × π
    -0.0438690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137818586407661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14429007} λ = 0.14429007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137818586407661))-π/2
    2×atan(0.871256735223933)-π/2
    2×0.716705983447494-π/2
    1.43341196689499-1.57079632675     		φ = -0.13738436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14429007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.267212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13738436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.871544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68546 KachelY 68411 0.14429007 -0.13738436 8.267212 -7.871544
    Oben rechts KachelX + 1 68547 KachelY 68411 0.14433800 -0.13738436 8.269958 -7.871544
    Unten links KachelX 68546 KachelY + 1 68412 0.14429007 -0.13743184 8.267212 -7.874264
    Unten rechts KachelX + 1 68547 KachelY + 1 68412 0.14433800 -0.13743184 8.269958 -7.874264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13738436--0.13743184) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13738436--0.13743184) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14429007-0.14433800) × cos(-0.13738436) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990577603033448 × 6371000     		do = 302.484787734838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14429007-0.14433800) × cos(-0.13743184) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990571099407843 × 6371000     		du = 302.482801774521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13738436)-sin(-0.13743184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990577603033448-0.990571099407843)×R²
    abs(0.14433800-0.14429007)×6.50362560505879e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.50362560505879e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.50362560505879e-06×40589641000000     		ar = 91499.8597101601m²