Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68544 / 68544
↖ ↑ ↗
← S  8.233237°
E  8.261719°		 ← 302.28 m → S  8.233237°
E  8.264465°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.235955°
E  8.261719°		 ← 302.28 m →
91 360 m²		 S  8.235955°
E  8.264465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522953033447266 y=0.522953033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522953033447266 × 217)
    floor (0.522953033447266 × 131072)
    floor (68544.5)     		tx = 68544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522953033447266 × 217)
    floor (0.522953033447266 × 131072)
    floor (68544.5)     		ty = 68544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68544 / 68544 ti = "17/68544/68544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68544/68544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68544 ÷ 217
    68544 ÷ 131072     		x = 0.52294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68544 ÷ 217
    68544 ÷ 131072     		y = 0.52294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52294921875 × 2 - 1) × π
    0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.144194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14419419} λ = 0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144194194057129))-π/2
    2×atan(0.865719614130224)-π/2
    2×0.713549615554924-π/2
    1.42709923110985-1.57079632675     		φ = -0.14369710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14369710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.233237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68544 KachelY 68544 0.14419419 -0.14369710 8.261719 -8.233237
    Oben rechts KachelX + 1 68545 KachelY 68544 0.14424213 -0.14369710 8.264465 -8.233237
    Unten links KachelX 68544 KachelY + 1 68545 0.14419419 -0.14374454 8.261719 -8.235955
    Unten rechts KachelX + 1 68545 KachelY + 1 68545 0.14424213 -0.14374454 8.264465 -8.235955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14369710--0.14374454) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dl = 302.240240000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14369710--0.14374454) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dr = 302.240240000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14419419-0.14424213) × cos(-0.14369710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989693325138832 × 6371000     		do = 302.277816203565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14419419-0.14424213) × cos(-0.14374454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989686530471031 × 6371000     		du = 302.275740937124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14369710)-sin(-0.14374454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989693325138832-0.989686530471031)×R²
    abs(0.14424213-0.14419419)×6.79466780062477e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.79466780062477e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.79466780062477e-06×40589641000000     		ar = 91360.206118696m²