Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68543 / 68543
↖ ↑ ↗
← S  8.230519°
E  8.258972°		 ← 302.22 m → S  8.230519°
E  8.261719°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.233237°
E  8.258972°		 ← 302.21 m →
91 361 m²		 S  8.233237°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522945404052734 y=0.522945404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522945404052734 × 217)
    floor (0.522945404052734 × 131072)
    floor (68543.5)     		tx = 68543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522945404052734 × 217)
    floor (0.522945404052734 × 131072)
    floor (68543.5)     		ty = 68543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68543 / 68543 ti = "17/68543/68543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68543/68543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68543 ÷ 217
    68543 ÷ 131072     		x = 0.522941589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68543 ÷ 217
    68543 ÷ 131072     		y = 0.522941589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522941589355469 × 2 - 1) × π
    0.0458831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14414626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522941589355469 × 2 - 1) × π
    -0.0458831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.144146257157509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14414626} λ = 0.14414626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144146257157509))-π/2
    2×atan(0.865761115039171)-π/2
    2×0.713573337051141-π/2
    1.42714667410228-1.57079632675     		φ = -0.14364965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14414626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.258972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14364965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.230519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68543 KachelY 68543 0.14414626 -0.14364965 8.258972 -8.230519
    Oben rechts KachelX + 1 68544 KachelY 68543 0.14419419 -0.14364965 8.261719 -8.230519
    Unten links KachelX 68543 KachelY + 1 68544 0.14414626 -0.14369710 8.258972 -8.233237
    Unten rechts KachelX + 1 68544 KachelY + 1 68544 0.14419419 -0.14369710 8.261719 -8.233237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14364965--0.14369710) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14364965--0.14369710) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14414626-0.14419419) × cos(-0.14364965) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989700119010836 × 6371000     		do = 302.2168374324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14414626-0.14419419) × cos(-0.14369710) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989693325138832 × 6371000     		du = 302.214762841854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14364965)-sin(-0.14369710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989700119010836-0.989693325138832)×R²
    abs(0.14419419-0.14414626)×6.79387200386294e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.79387200386294e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.79387200386294e-06×40589641000000     		ar = 91361.0301509818m²