Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68543 / 68417
↖ ↑ ↗
← S  7.887868°
E  8.258972°		 ← 302.47 m → S  7.887868°
E  8.261719°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.890589°
E  8.258972°		 ← 302.47 m →
91 496 m²		 S  7.890589°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522945404052734 y=0.521984100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522945404052734 × 217)
    floor (0.522945404052734 × 131072)
    floor (68543.5)     		tx = 68543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521984100341797 × 217)
    floor (0.521984100341797 × 131072)
    floor (68417.5)     		ty = 68417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68543 / 68417 ti = "17/68543/68417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68543/68417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68543 ÷ 217
    68543 ÷ 131072     		x = 0.522941589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68417 ÷ 217
    68417 ÷ 131072     		y = 0.521980285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522941589355469 × 2 - 1) × π
    0.0458831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14414626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521980285644531 × 2 - 1) × π
    -0.0439605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.138106207805382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14414626} λ = 0.14414626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138106207805382))-π/2
    2×atan(0.871006179178342)-π/2
    2×0.716563530597714-π/2
    1.43312706119543-1.57079632675     		φ = -0.13766927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14414626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.258972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13766927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.887868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68543 KachelY 68417 0.14414626 -0.13766927 8.258972 -7.887868
    Oben rechts KachelX + 1 68544 KachelY 68417 0.14419419 -0.13766927 8.261719 -7.887868
    Unten links KachelX 68543 KachelY + 1 68418 0.14414626 -0.13771675 8.258972 -7.890589
    Unten rechts KachelX + 1 68544 KachelY + 1 68418 0.14419419 -0.13771675 8.261719 -7.890589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13766927--0.13771675) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13766927--0.13771675) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14414626-0.14419419) × cos(-0.13766927) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990538543666652 × 6371000     		do = 302.472860487302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14414626-0.14419419) × cos(-0.13771675) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99053202664129 × 6371000     		du = 302.470870435208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13766927)-sin(-0.13771675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990538543666652-0.99053202664129)×R²
    abs(0.14419419-0.14414626)×6.51702536214049e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.51702536214049e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.51702536214049e-06×40589641000000     		ar = 91496.2511576344m²