Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68542 / 69570
↖ ↑ ↗
← S 11.011297°
E  8.256226°		 ← 299.80 m → S 11.011297°
E  8.258972°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.013992°
E  8.256226°		 ← 299.80 m →
89 867 m²		 S 11.013992°
E  8.258972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522937774658203 y=0.530780792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522937774658203 × 217)
    floor (0.522937774658203 × 131072)
    floor (68542.5)     		tx = 68542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530780792236328 × 217)
    floor (0.530780792236328 × 131072)
    floor (69570.5)     		ty = 69570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68542 / 69570 ti = "17/68542/69570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68542/69570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68542 ÷ 217
    68542 ÷ 131072     		x = 0.522933959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69570 ÷ 217
    69570 ÷ 131072     		y = 0.530776977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522933959960938 × 2 - 1) × π
    0.045867919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14409832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530776977539062 × 2 - 1) × π
    -0.061553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.193377453067307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14409832} λ = 0.14409832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193377453067307))-π/2
    2×atan(0.824170829613952)-π/2
    2×0.689306473619457-π/2
    1.37861294723891-1.57079632675     		φ = -0.19218338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14409832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.256226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19218338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.011297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68542 KachelY 69570 0.14409832 -0.19218338 8.256226 -11.011297
    Oben rechts KachelX + 1 68543 KachelY 69570 0.14414626 -0.19218338 8.258972 -11.011297
    Unten links KachelX 68542 KachelY + 1 69571 0.14409832 -0.19223043 8.256226 -11.013992
    Unten rechts KachelX + 1 68543 KachelY + 1 69571 0.14414626 -0.19223043 8.258972 -11.013992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19218338--0.19223043) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19218338--0.19223043) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14409832-0.14414626) × cos(-0.19218338) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981589544031836 × 6371000     		do = 299.802712862163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14409832-0.14414626) × cos(-0.19223043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981580556276258 × 6371000     		du = 299.799967770265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19218338)-sin(-0.19223043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981589544031836-0.981580556276258)×R²
    abs(0.14414626-0.14409832)×8.98775557833797e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.98775557833797e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.98775557833797e-06×40589641000000     		ar = 89867.115673838m²