Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68542 / 43701
↖ ↑ ↗
← N 51.308297°
E  8.256226°		 ← 190.93 m → N 51.308297°
E  8.258972°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.306579°
E  8.256226°		 ← 190.94 m →
36 457 m²		 N 51.306579°
E  8.258972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522937774658203 y=0.333415985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522937774658203 × 217)
    floor (0.522937774658203 × 131072)
    floor (68542.5)     		tx = 68542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333415985107422 × 217)
    floor (0.333415985107422 × 131072)
    floor (43701.5)     		ty = 43701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68542 / 43701 ti = "17/68542/43701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68542/43701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68542 ÷ 217
    68542 ÷ 131072     		x = 0.522933959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43701 ÷ 217
    43701 ÷ 131072     		y = 0.333412170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522933959960938 × 2 - 1) × π
    0.045867919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14409832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333412170410156 × 2 - 1) × π
    0.333175659179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04670220320393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14409832} λ = 0.14409832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04670220320393))-π/2
    2×atan(2.84824268743466)-π/2
    2×1.23314751677729-π/2
    2.46629503355459-1.57079632675     		φ = 0.89549871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14409832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.256226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89549871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.308297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68542 KachelY 43701 0.14409832 0.89549871 8.256226 51.308297
    Oben rechts KachelX + 1 68543 KachelY 43701 0.14414626 0.89549871 8.258972 51.308297
    Unten links KachelX 68542 KachelY + 1 43702 0.14409832 0.89546874 8.256226 51.306579
    Unten rechts KachelX + 1 68543 KachelY + 1 43702 0.14414626 0.89546874 8.258972 51.306579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89549871-0.89546874) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89549871-0.89546874) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14409832-0.14414626) × cos(0.89549871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625129640549443 × 6371000     		do = 190.930683060733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14409832-0.14414626) × cos(0.89546874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625153032481164 × 6371000     		du = 190.937827558789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89549871)-sin(0.89546874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625129640549443-0.625153032481164)×R²
    abs(0.14414626-0.14409832)×2.33919317211839e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33919317211839e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33919317211839e-05×40589641000000     		ar = 36456.7709560231m²