Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68540 / 68531
↖ ↑ ↗
← S  8.197898°
E  8.250733°		 ← 302.24 m → S  8.197898°
E  8.253479°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.200617°
E  8.250733°		 ← 302.24 m →
91 369 m²		 S  8.200617°
E  8.253479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522922515869141 y=0.522853851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522922515869141 × 217)
    floor (0.522922515869141 × 131072)
    floor (68540.5)     		tx = 68540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522853851318359 × 217)
    floor (0.522853851318359 × 131072)
    floor (68531.5)     		ty = 68531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68540 / 68531 ti = "17/68540/68531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68540/68531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68540 ÷ 217
    68540 ÷ 131072     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68531 ÷ 217
    68531 ÷ 131072     		y = 0.522850036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522850036621094 × 2 - 1) × π
    -0.0457000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.143571014362068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143571014362068))-π/2
    2×atan(0.866259281152666)-π/2
    2×0.713858007688291-π/2
    1.42771601537658-1.57079632675     		φ = -0.14308031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14308031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.197898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68540 KachelY 68531 0.14400245 -0.14308031 8.250733 -8.197898
    Oben rechts KachelX + 1 68541 KachelY 68531 0.14405038 -0.14308031 8.253479 -8.197898
    Unten links KachelX 68540 KachelY + 1 68532 0.14400245 -0.14312776 8.250733 -8.200617
    Unten rechts KachelX + 1 68541 KachelY + 1 68532 0.14405038 -0.14312776 8.253479 -8.200617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14308031--0.14312776) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14308031--0.14312776) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14405038) × cos(-0.14308031) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989781463106599 × 6371000     		do = 302.241676830611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14405038) × cos(-0.14312776) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989774695972533 × 6371000     		du = 302.239610404815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14308031)-sin(-0.14312776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989781463106599-0.989774695972533)×R²
    abs(0.14405038-0.14400245)×6.7671340662212e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.7671340662212e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.7671340662212e-06×40589641000000     		ar = 91368.5404333701m²