Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68540 / 43421
↖ ↑ ↗
← N 51.786533°
E  8.250733°		 ← 188.89 m → N 51.786533°
E  8.253479°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
N 51.784834°
E  8.250733°		 ← 188.90 m →
35 695 m²		 N 51.784834°
E  8.253479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522922515869141 y=0.331279754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522922515869141 × 217)
    floor (0.522922515869141 × 131072)
    floor (68540.5)     		tx = 68540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331279754638672 × 217)
    floor (0.331279754638672 × 131072)
    floor (43421.5)     		ty = 43421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68540 / 43421 ti = "17/68540/43421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68540/43421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68540 ÷ 217
    68540 ÷ 131072     		x = 0.522918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43421 ÷ 217
    43421 ÷ 131072     		y = 0.331275939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522918701171875 × 2 - 1) × π
    0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331275939941406 × 2 - 1) × π
    0.337448120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06012453509754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14400245} λ = 0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06012453509754))-π/2
    2×atan(2.88673046614393)-π/2
    2×1.23732091740674-π/2
    2.47464183481348-1.57079632675     		φ = 0.90384551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90384551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.786533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68540 KachelY 43421 0.14400245 0.90384551 8.250733 51.786533
    Oben rechts KachelX + 1 68541 KachelY 43421 0.14405038 0.90384551 8.253479 51.786533
    Unten links KachelX 68540 KachelY + 1 43422 0.14400245 0.90381585 8.250733 51.784834
    Unten rechts KachelX + 1 68541 KachelY + 1 43422 0.14405038 0.90381585 8.253479 51.784834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90384551-0.90381585) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dl = 188.96386000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90384551-0.90381585) × R
    2.96600000000424e-05 × 6371000     		dr = 188.96386000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14400245-0.14405038) × cos(0.90384551) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.618593088068667 × 6371000     		do = 188.894841116623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14400245-0.14405038) × cos(0.90381585) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.61861639200023 × 6371000     		du = 188.901957252472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90384551)-sin(0.90381585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618593088068667-0.61861639200023)×R²
    abs(0.14405038-0.14400245)×2.33039315628014e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33039315628014e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33039315628014e-05×40589641000000     		ar = 35694.9706604622m²