Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6854 / 2341
↖ ↑ ↗
← N 77.892647°
W 29.399414°		 ← 512.45 m → N 77.892647°
W 29.377442°		 →
↑
512.55 m
↓
↑
512.55 m
↓
N 77.888038°
W 29.399414°		 ← 512.64 m →
262 704 m²		 N 77.888038°
W 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418365478515625 y=0.142913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418365478515625 × 214)
    floor (0.418365478515625 × 16384)
    floor (6854.5)     		tx = 6854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142913818359375 × 214)
    floor (0.142913818359375 × 16384)
    floor (2341.5)     		ty = 2341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6854 / 2341 ti = "14/6854/2341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6854/2341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6854 ÷ 214
    6854 ÷ 16384     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2341 ÷ 214
    2341 ÷ 16384     		y = 0.14288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14288330078125 × 2 - 1) × π
    0.7142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24383039741559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24383039741559))-π/2
    2×atan(9.42938047661452)-π/2
    2×1.46513974355781-π/2
    2.93027948711563-1.57079632675     		φ = 1.35948316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35948316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.892647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6854 KachelY 2341 -0.51311657 1.35948316 -29.399414 77.892647
    Oben rechts KachelX + 1 6855 KachelY 2341 -0.51273308 1.35948316 -29.377442 77.892647
    Unten links KachelX 6854 KachelY + 1 2342 -0.51311657 1.35940271 -29.399414 77.888038
    Unten rechts KachelX + 1 6855 KachelY + 1 2342 -0.51273308 1.35940271 -29.377442 77.888038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35948316-1.35940271) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dl = 512.546950000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35948316-1.35940271) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dr = 512.546950000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51273308) × cos(1.35948316) × R
    0.000383490000000042 × 0.209744037463751 × 6371000     		do = 512.449734445806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51273308) × cos(1.35940271) × R
    0.000383490000000042 × 0.209822697281575 × 6371000     		du = 512.641917276092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35948316)-sin(1.35940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209744037463751-0.209822697281575)×R²
    abs(-0.51273308--0.51311657)×7.86598178240672e-05×R²
    0.000383490000000042×7.86598178240672e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.86598178240672e-05×40589641000000     		ar = 262703.799921789m²