Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68538 / 43722
↖ ↑ ↗
← N 51.272226°
E  8.245239°		 ← 191.08 m → N 51.272226°
E  8.247986°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 51.270508°
E  8.245239°		 ← 191.09 m →
36 510 m²		 N 51.270508°
E  8.247986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522907257080078 y=0.333576202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522907257080078 × 217)
    floor (0.522907257080078 × 131072)
    floor (68538.5)     		tx = 68538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333576202392578 × 217)
    floor (0.333576202392578 × 131072)
    floor (43722.5)     		ty = 43722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68538 / 43722 ti = "17/68538/43722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68538/43722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68538 ÷ 217
    68538 ÷ 131072     		x = 0.522903442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43722 ÷ 217
    43722 ÷ 131072     		y = 0.333572387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522903442382812 × 2 - 1) × π
    0.045806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14390657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333572387695312 × 2 - 1) × π
    0.332855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0456955283119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14390657} λ = 0.14390657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0456955283119))-π/2
    2×atan(2.84537687574719)-π/2
    2×1.23283274199217-π/2
    2.46566548398434-1.57079632675     		φ = 0.89486916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14390657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89486916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.272226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68538 KachelY 43722 0.14390657 0.89486916 8.245239 51.272226
    Oben rechts KachelX + 1 68539 KachelY 43722 0.14395451 0.89486916 8.247986 51.272226
    Unten links KachelX 68538 KachelY + 1 43723 0.14390657 0.89483917 8.245239 51.270508
    Unten rechts KachelX + 1 68539 KachelY + 1 43723 0.14395451 0.89483917 8.247986 51.270508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89486916-0.89483917) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89486916-0.89483917) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14390657-0.14395451) × cos(0.89486916) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625620893592824 × 6371000     		do = 191.080724385035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14390657-0.14395451) × cos(0.89483917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625644289327154 × 6371000     		du = 191.087870044506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89486916)-sin(0.89483917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625620893592824-0.625644289327154)×R²
    abs(0.14395451-0.14390657)×2.33957343307445e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33957343307445e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33957343307445e-05×40589641000000     		ar = 36509.7677488731m²