Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68537 / 43625
↖ ↑ ↗
← N 51.438600°
E  8.242493°		 ← 190.35 m → N 51.438600°
E  8.245239°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
N 51.436888°
E  8.242493°		 ← 190.36 m →
36 236 m²		 N 51.436888°
E  8.245239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522899627685547 y=0.332836151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522899627685547 × 217)
    floor (0.522899627685547 × 131072)
    floor (68537.5)     		tx = 68537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332836151123047 × 217)
    floor (0.332836151123047 × 131072)
    floor (43625.5)     		ty = 43625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68537 / 43625 ti = "17/68537/43625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68537/43625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68537 ÷ 217
    68537 ÷ 131072     		x = 0.522895812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43625 ÷ 217
    43625 ÷ 131072     		y = 0.332832336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522895812988281 × 2 - 1) × π
    0.0457916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14385864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332832336425781 × 2 - 1) × π
    0.334335327148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05034540757505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14385864} λ = 0.14385864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05034540757505))-π/2
    2×atan(2.85863834289385)-π/2
    2×1.23428463579855-π/2
    2.46856927159711-1.57079632675     		φ = 0.89777294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14385864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.242493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89777294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.438600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68537 KachelY 43625 0.14385864 0.89777294 8.242493 51.438600
    Oben rechts KachelX + 1 68538 KachelY 43625 0.14390657 0.89777294 8.245239 51.438600
    Unten links KachelX 68537 KachelY + 1 43626 0.14385864 0.89774306 8.242493 51.436888
    Unten rechts KachelX + 1 68538 KachelY + 1 43626 0.14390657 0.89774306 8.245239 51.436888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89777294-0.89774306) × R
    2.98799999999266e-05 × 6371000     		dl = 190.365479999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89777294-0.89774306) × R
    2.98799999999266e-05 × 6371000     		dr = 190.365479999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14385864-0.14390657) × cos(0.89777294) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62335294132719 × 6371000     		do = 190.348319570148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14385864-0.14390657) × cos(0.89774306) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62337630543421 × 6371000     		du = 190.355454081297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89777294)-sin(0.89774306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62335294132719-0.62337630543421)×R²
    abs(0.14390657-0.14385864)×2.33641070197521e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33641070197521e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33641070197521e-05×40589641000000     		ar = 36236.4283071067m²