Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68536 / 69577
↖ ↑ ↗
← S 11.030168°
E  8.239746°		 ← 299.78 m → S 11.030168°
E  8.242493°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.032864°
E  8.239746°		 ← 299.78 m →
89 861 m²		 S 11.032864°
E  8.242493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522891998291016 y=0.530834197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522891998291016 × 217)
    floor (0.522891998291016 × 131072)
    floor (68536.5)     		tx = 68536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530834197998047 × 217)
    floor (0.530834197998047 × 131072)
    floor (69577.5)     		ty = 69577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68536 / 69577 ti = "17/68536/69577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68536/69577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68536 ÷ 217
    68536 ÷ 131072     		x = 0.52288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69577 ÷ 217
    69577 ÷ 131072     		y = 0.530830383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52288818359375 × 2 - 1) × π
    0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530830383300781 × 2 - 1) × π
    -0.0616607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.193713011364647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14381070} λ = 0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193713011364647))-π/2
    2×atan(0.823894318649018)-π/2
    2×0.68914178864197-π/2
    1.37828357728394-1.57079632675     		φ = -0.19251275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19251275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.030168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68536 KachelY 69577 0.14381070 -0.19251275 8.239746 -11.030168
    Oben rechts KachelX + 1 68537 KachelY 69577 0.14385864 -0.19251275 8.242493 -11.030168
    Unten links KachelX 68536 KachelY + 1 69578 0.14381070 -0.19255980 8.239746 -11.032864
    Unten rechts KachelX + 1 68537 KachelY + 1 69578 0.14385864 -0.19255980 8.242493 -11.032864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19251275--0.19255980) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dl = 299.755549999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19251275--0.19255980) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dr = 299.755549999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14381070-0.14385864) × cos(-0.19251275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981526580285494 × 6371000     		do = 299.783482113343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14381070-0.14385864) × cos(-0.19255980) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981517577318919 × 6371000     		du = 299.780732375615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19251275)-sin(-0.19255980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981526580285494-0.981517577318919)×R²
    abs(0.14385864-0.14381070)×9.00296657524446e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.00296657524446e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.00296657524446e-06×40589641000000     		ar = 89861.3504538213m²