Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68535 / 72333
↖ ↑ ↗
← S 18.346705°
E  8.236999°		 ← 289.90 m → S 18.346705°
E  8.239746°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.349312°
E  8.236999°		 ← 289.90 m →
84 036 m²		 S 18.349312°
E  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522884368896484 y=0.551860809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522884368896484 × 217)
    floor (0.522884368896484 × 131072)
    floor (68535.5)     		tx = 68535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551860809326172 × 217)
    floor (0.551860809326172 × 131072)
    floor (72333.5)     		ty = 72333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68535 / 72333 ti = "17/68535/72333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68535/72333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68535 ÷ 217
    68535 ÷ 131072     		x = 0.522880554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72333 ÷ 217
    72333 ÷ 131072     		y = 0.551856994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522880554199219 × 2 - 1) × π
    0.0457611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14376276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551856994628906 × 2 - 1) × π
    -0.103713989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.325827106717522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14376276} λ = 0.14376276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325827106717522))-π/2
    2×atan(0.721929993488634)-π/2
    2×0.62529296063839-π/2
    1.25058592127678-1.57079632675     		φ = -0.32021041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14376276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.236999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32021041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.346705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68535 KachelY 72333 0.14376276 -0.32021041 8.236999 -18.346705
    Oben rechts KachelX + 1 68536 KachelY 72333 0.14381070 -0.32021041 8.239746 -18.346705
    Unten links KachelX 68535 KachelY + 1 72334 0.14376276 -0.32025591 8.236999 -18.349312
    Unten rechts KachelX + 1 68536 KachelY + 1 72334 0.14381070 -0.32025591 8.239746 -18.349312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32021041--0.32025591) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dl = 289.880499999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32021041--0.32025591) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dr = 289.880499999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14376276-0.14381070) × cos(-0.32021041) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.94916920912046 × 6371000     		do = 289.900708080977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14376276-0.14381070) × cos(-0.32025591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.949154886272113 × 6371000     		du = 289.896333514421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32021041)-sin(-0.32025591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94916920912046-0.949154886272113)×R²
    abs(0.14381070-0.14376276)×1.43228483474589e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43228483474589e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43228483474589e-05×40589641000000     		ar = 84035.9281725613m²